摘要：
\(K\) 在 \(BC\) 上， \(M\) 是 \(BC\) 中点，满足 \(AK,AM\) 为等角线，则称 \(AK\) 为 \(\triangle ABC\) 的共轭中线 延长 \(AK\) 交 \(ABC\) 外接圆于点 \(D\) ，则得到调和四边形 \(ABCD\) 。调和四边形是指 阅读全文
posted @ 2024-08-13 15:10
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内心 1、三条角平分线 2、在 \(\odot M\) 上（鸡爪圆上） 3、\(AI\cdot IM=AM\cdot IK=2Rr\) ，即 \(OI^2=R^2-2Rr\) 4、\(\odot I\) 与 \(\odot I_A\) 关于点 \(A\) 位似，所以 \(D\) 的对径点 \(D'\ 阅读全文
posted @ 2024-08-12 23:27
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外心 （这三条结论并不完全是平凡的） 1、 \(\angle BOC=2\angle A\) 2、 \(\angle CBO+\angle A=Rt \angle\) 3、 \(O\) 在三角形三边的中垂线上 例1 如图，\(\triangle ABC\) 内接于圆 \(O\) ，\(AD\perp 阅读全文
posted @ 2024-08-12 19:06
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UPD on 2025.7.8：更改了一些表述，修正了一些错误。 这篇笔记收录了一些比较难归类（我不会）的数论杂题。 例1 \(A\subset Z\) 是无限集，证明：存在 \(A\) 的 \(2p-2\) 元子集 \(B\) ，使得 \(B\) 中任 \(p\) 个元素的算术平均值不属于 \(A 阅读全文
posted @ 2024-08-11 22:57
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UPD on 2025.7.8 ：更改了一些表述，修正了一些错误 数论构造还是相当玄学的版块，经常出现什么都没学的萌新能做出来但是数论较好的人卡题的现象…… 其他的笔记已经记录了一些专题类的构造，这里更多是记录一些综合性的/莫名其妙的构造。 数论构造除了用其它定理（ \(CRT\) ，欧拉定理之类的 阅读全文
posted @ 2024-07-29 12:59
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UPD on 2025.7.11：更正了一些错误。 欧拉定理：对 \(\forall a,b\) 满足 \((a,b)=1\)， 有 \(a^{\varphi(b)}\equiv 1\: (mod ~b)\) 证明：由简化剩余系的基本性质易得 \(a_0a_1...a_{\varphi(m)-1}\ 阅读全文
posted @ 2024-07-18 22:00
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CP3 众所周知的技巧：利用韦达定理构造多项式 例1 设 \(a,b,c,d,e,f\) 是正整数，使得 \(S=a+b+c+d+e+f\) 整除 \(ab+bc+ca-de-ef-df\) 和 \(abc+def\) ，求证： \(S\) 是合数。 假设 \(S\) 是素数，我们看到： \(a+b 阅读全文
posted @ 2024-07-18 19:58
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UPD on 2025.8.1：添加了介绍部分，修改了证明表述 前置知识：单位根 （为了偷懒，基本将所有的 \(\omega\) 都写成了 \(w\) ） CP1 定义数列 \(\{a_n\}\) 的普通母函数 \(G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...\) ，指数型母函数 \(G(x)= 阅读全文
posted @ 2024-07-18 12:55
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UPD on 2025.7.30：补充说明 定理 \(1\) ：任何素数 \(p\equiv 1\:(mod~4)\) 可以表示为两个正整数的平方和。 证明：对这样的 \(p\) ，存在 \(t^2\equiv -1\:(mod~p)\) （其中 \(t=(\frac{p-1}2)!\) ），只要找 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:20
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UPD on 2025.7.30：补充了一些说明，使证明更加容易理解 下面给出了关于组合数素因子幂次的基本性质： （勒让德公式） \(v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty[\frac n{p^i}]\) 这里对 \(1-n\) 内 \(p\) 的倍数统计一次贡献，再对 \ 阅读全文
posted @ 2024-07-18 11:20
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