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以下介绍了几种有一定用处的方法，不过都是十几年前常考的东西了。 韦达跳跃法 例1 是否存在正整数 \(m\) ，使得 \(\frac 1x+\frac 1y+\frac 1z+\frac 1{xyz}=\frac m{x+y+z}\) 有无穷组正整数解 代入 \((x,y,z)=(1,1,1)\) 阅读全文
posted @ 2024-07-18 10:29
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UPD on 2025.8.2：修正了一些错误 对 \(D\in N^*\) 且 \(D\) 不为完全平方数，方程 \(x^2-Dy^2=1\) 有无穷组解 其中设 \(x+\sqrt D y\) 最小的一组为 \((x_0,y_0)\) （该解称为基本解），则方程 \(x^2-Dy^2=1\) 的 阅读全文
posted @ 2024-07-17 23:56
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UPD on 2025.8.2：补充说明 形式为 \(x^2+y^2=z^2\) 的方程称为勾股方程，并称 \((x,y)=1\) 的解为一组本原解。不难推知，本原解满足 \((x,z)=1,(y,z)=1\) 我们可以证明方程 \(x^2+y^2=z^2\) 的所有本原解为 \(a^2+b^2,2 阅读全文
posted @ 2024-07-17 23:46
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裴蜀定理 \(ax+by=c\) 存在整数解 \((x,y)\) \(\iff (a,b)\mid c\) 更一般的 \(a_1x_1+...+a_nx_n=c\) 存在整数解 \((x_1,x_2,...,x_n) \iff (a_1,a_2,...,a_n)\mid c\) 例1 证明：对 \( 阅读全文
posted @ 2024-07-17 23:12
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UPD on 2025.8.3：补充说明 CP1 整系数多项式的重要引理： \(a-b\mid f(a)-f(b)\) ，证明并不困难 例1 设 \(f\) 为整系数多项式，记 \(g=f\circ f\circ f...\circ f\) ，\(n=deg(f)>1\) 。求证： \(g(x)=x 阅读全文
posted @ 2024-07-17 23:04
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定义：对 \((a,n)=1\) ，则满足 \(a^m\equiv 1 \:(mod~n)\) 的最小正整数 \(m\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\delta_n(a)\) 以下引用阶符号时默认 \((a,n)\) 互质 由欧拉定理，阶的存在性是显然的，下面给出几条阶的性质 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27
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定义：称满足 \(\delta_n(a)=\varphi(n)\) 的 \(a\) 为模 \(n\) 的原根 性质： \(g,g^2,...,g^{\varphi(n)}\) 构成模 \(n\) 的简系 当且仅当存在奇素数 \(p\) 及整数 \(\alpha\) 使得 \(n\in\{p^\alp 阅读全文
posted @ 2024-07-12 23:27
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1、奇素数 \(p\) 满足 \(p\mid a-b,p\nmid a,p\nmid b\) ，则有 \(v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+n\) 证明：我们归纳证明。只需证下面两个引理： \(v_p(a^p-b^p)=v_p(a-b)+1,p\mid a-b,p\nmid a,p\nmi 阅读全文
posted @ 2024-07-12 20:49
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CP4 杂题 例1 设递增正整数数列 \(\{a_n\}\) 满足相邻两项差不超过常数 \(k\) ，求证： 存在无穷对 \((i,j),s.t.~a_i\mid a_j\) 构造 \(k\) 列无穷数表，第一行为 \(a_1+1,a_1+2,...,a_1+k\) ，之后若第 \(j\) 行为 \ 阅读全文
posted @ 2024-07-12 11:18
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本文将介绍一些整除的相关问题，并没有很多的前置知识，因此会更偏向妙解 整除的基本性质： \(a\mid b,b\mid c=>a\mid c\) \(a\mid b,a\mid c=>a\mid b\pm c\) \(a\mid b=>a\mid bc,\forall c\in Z\) \(a\mi 阅读全文
posted @ 2024-07-12 10:51
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