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摘要： \(\text{群论基础与 Burnside 引理与 Polya 定理 学习笔记}\) 本文主要介绍 OI 中常用的群论部分，将会略过一些不必要的证明。 群论基础 群的定义 若集合 \(S\ne\varnothing\) 和 \(S\) 上二元运算 \(\cdot\) 构成代数结构 \(G(S,\c 阅读全文

摘要： \(\text{P6272 [湖北省队互测2014] 没有人的算术 题解}\) 直接去按照题目给定的递归形式去维护显然是困难的。由于总形态的个数显然是 \(O(m)\) 级别，我们考虑设计一种方式使得可以表示出每种形态的权值然后互相比较。考虑直接在这些个状态上去维护权值表示大小关系，然后把每次单点修 阅读全文

摘要： \(\text{P10778 BZOJ3569 DZY Loves Chinese II 题解}\) 由于有强制在线的限制，无法考虑一些奇技淫巧。一般的手段难以维护，于是考虑对于图上问题，先整出一棵生成树来，分为树边和非树边。显然一个环一定由一些树边和一些非树边组成。考虑对于一条被删去的树边，不连通 阅读全文

摘要： \(\text{可持久化数据结构学习笔记}\) 可持久化线段树 概述 又称主席树。当我们想要保存线段树上的一些历史版本信息时，直接给每一个版本都开一个线段树显然是吃不消的，考虑优化。以版本之间单点修改为例，容易发现插入一个点最多会有 \(\log n\) 个节点受影响，于是我们可以对这 \(\log 阅读全文

摘要： \(\text{K-D Tree 学习笔记}\) K-D Tree 是处理 \(k\) 维空间的数据结构。具有二叉搜索树的形态。事实上 OI 中的应用就是 2-D Tree，常用来维护二维平面上一些点对的信息。 构建 要让 K-D Tree 尽量贴近一个二叉搜索树的形态，那就要让某一维度上的中位数作 阅读全文

摘要： \(\text{P3246 [HNOI2016] 序列 题解}\) 套路地去考虑每个最小值的贡献。对于每个值 \(i\)，我们求出它左/右边第一个小于 \(a_i\) 的位置 \(L,R\)，那么 \(l\in[L+1,i],r\in[i,R-1]\) 会有贡献。这实际上是一个区间加的形式，同时对于 阅读全文

摘要： \(\text{线段树进阶学习笔记}\) 线段树是一种常见的数据结构，除了基础用法，我们还需要掌握一些进阶。 线段树的合并与分裂 概念 线段树的合并通常是针对权值线段树的合并，将两棵线段树的信息合并起来保存在一棵线段树中。为了节省空间，我们通常将两棵线段树的信息直接保留在一棵线段树中。需要留意的是， 阅读全文

摘要： \(\text{CF938G Shortest Path Queries 题解}\) 异或有很多奇妙的小性质，在这道题里都得到了体现。 注意到异或下求出 \((x,y)\) 的最短路等价于 \(\text{dis}(1,x)\oplus\operatorname{dis}(1,y)\)，于是先考虑静 阅读全文

摘要： \(\text{[ARC165E] Random Isolation 题解}\) 首先这个操作次数看上去是和树的形态有关的，显然没法去求，考虑转化。对于每个大小大于 \(K\) 的连通块，出现后我们必然要拆分它，而拆分的代价，即操作次数就是 \(1\)。由期望的定义，事实上我们需要求的是所有大小大于 阅读全文

摘要： \(\text{CF193D Two Segments 题解}\) 要这个排列构成连续段，那直接维护下标无疑是困难的，于是考虑维护数列中对应的值 \([l,r]\)。暴力维护的区间个数是 \(O(n^2)\) 的，考虑常见的优化套路：将 \(r\) 扫描线，维护 \([1,r-1]\) 中 \(l\ 阅读全文