2.3 线性码的对偶性

定义 1 设 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 和 $\boldsymbol{b}=$ $\left(b_1, \cdots, b_n\right)$ 是 $F_p^n$ 中的向量. $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的内积定义为

\[(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}=\sum_{i=1}^n a_i b_i \in F_p . \]

容易验证内积有如下性质.
$(1)$ (对称性) $\quad(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a})$;
$(2)$ (双线性) 若 $\alpha, \beta \in F_p, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \in F_p^n$,则

\[(\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=\alpha(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})+\beta(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) . \]

如果 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=0$, 称 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 正交. 这里要注意有限域和通常实数域R 上内积的区别. 对于通常实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 中的非零向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, \cdots, a_n\right)\left(a_i\right.$ $\in \mathbb{R}), \boldsymbol{a}$ 和自身的内积 $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a})=\sum_{i=1}^n a_i^2$ 为正实数 (它的正平方根是向量 $\boldsymbol{a}$ 的长度). 特别地,非零实向量不可能和自己正交(即垂直)。但是在有限域上,一个非零向量可以自正交. 例如,对于 $\boldsymbol{a}=(1,1) \in F_2^2,(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a})=1 \cdot 1+1 \cdot 1=0 \in F_2$.

设 $C$ 是一个 $p$ 元线性码,参数为 $[n, k, d]$.从而 $C$ 是 $F_p^n$ 的一个 $k$ 维向量子空间. 考虑 $F_p^n$中的如下子集合:

\[\begin{aligned} C^{\perp}= \{a \in F_p^n \mid 对每个 c \in C,均有(a, c)=0\}, \end{aligned} \]

即 $C^{\perp}$ 是与 $C$ 中所有码字都正交的那些向量所组成的集合.

引理 2 若 $C$ 是参数为 $[n, k]$ 的 $p$ 元线性码, 则 $C^{\perp}$ 也是 $p$ 元线性码, 码长和信息位数分别为 $n$ 和 $n-k$.
证明: 设 $\alpha, \beta \in F_p, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in C^{\perp}$. 则对每个 $\boldsymbol{c} \in$ $C,(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=0$. 由内积的性质 (2), 可知 $(\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=\alpha(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})+\beta(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=0$,对每个 $c \in C$.于是 $\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{b} \in C^{\perp}$. 这就表明 $C^{\perp}$ 是 $F_p^n$ 的向量子空间, 即 $C^{\perp}$ 是 $p$ 元线性码. $C^{\perp}$ 的码长显然为 $n$.
现在设 $v_1, \cdots, v_k$ 是线性码 $C$ 的一组基,则

\[\boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{v}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{v}_k \end{array}\right] \]

是 $C$ 的一个生成矩阵.由内积的双线性性质 (2) 可知,对于每个向量 $v \in F_p^n, v$属于 $C^{\perp}$ 当且仅当 $v$ 与 $G$ 中每个码字都正交. 所以 $C^{\perp}$ 就是满足 $\boldsymbol{G} v^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}$ 的那些向量 $\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}$ 组成的线性码. 由于 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{G})=k$, 可知 $C^{\perp}$ 的维数是 $n-k$ . 证毕.

定义 3 设 $C$ 是 $p$ 元线性码, 称 $C^{\perp}$ 为 $C$ 的对偶码. 如果 $C \subseteq C^{\perp}$, 称 $C$ 为自正交码. 如果 $C=C^{\perp}$, 称 $C$ 为自对偶码.

设 $v_1, \cdots, v_k$ 是线性码 $C$ 的一组基,由定义 (3) 可知, $C$ 为自正交码当且仅当 $v_1, \cdots, v_k$ 中任意两个向量 (包含每个 $v_i$ 和它自身)都正交,即对任何 $1 \leqslant$ $i, j \leqslant k$, 均有 $\left(\boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j\right)=0$.

此外, 若 $C$ 是 $F_p^n$ 中的自正交码并且维数为 $k$. 由 $C \subseteq C^{\perp}$ 可知 $k=\operatorname{dim} C \leqslant \operatorname{dim} C^{\perp}=n-k$. 所以 $k \leqslant \frac{n}{2}$. 特别地,自正交码 $C$ 是自对偶码 $\Leftrightarrow k=n-k$, 即 $k=\frac{n}{2}$.
由此我们也可以知道：只有当 $n$ 是偶数时, $F_p^n$ 中才存在自对偶码.

引理 4 设 $C$ 为 $F_p^n$ 中的 $k$ 维线性码,则
$(1)$ $C$ 的生成矩阵是 $C^{\perp}$ 的校验矩阵, $C$ 的校验矩阵是 $C^{\perp}$ 的生成矩阵.
$(2)$ $C^{\perp}$ 的对偶码为 $C$, 即 $\left(C^{\perp}\right)^{\perp}=C$.
证明:
$(1)$ 设 $\boldsymbol{G}$ 是 $C$ 的生成矩阵, 在引理 2 中已经证明了对于每个向量 $v \in F_p^n, \boldsymbol{v}$ 属于 $C^{\perp}$ 当且仅当 $\boldsymbol{G} \boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}$. 这正好表明 $\boldsymbol{G}$ 是 $C^{\perp}$的校验矩阵. 设 $\boldsymbol{H}$ 是 $C$ 的一个校验矩阵, 则对于 $C$ 中每个码字 $\boldsymbol{c}, \boldsymbol{H} \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}$. 所以 $\boldsymbol{H}$ 的每一行都与 $C$ 中所有码字 $\boldsymbol{c}$ 正交. 从而 $\boldsymbol{H}$ 的每个行向量都属于 $C^{\perp}$. 但是 $\boldsymbol{H}$ 的 $n-k$ 行是线性无关的, 而 $\mathbf{C}^{\perp}$ 的维数为 $n-k$, 这表明 $\boldsymbol{H}$ 的 $n-k$ 个行向量是 $C^{\perp}$ 的一组基,所以 $\boldsymbol{H}$ 是 $C^{\perp}$ 的生成矩阵.
$(2)$ 由 (1) 知 $C$ 的生成矩阵 $\boldsymbol{G}$ 是 $C^{\perp}$ 的校验矩阵, 从而 $\boldsymbol{G}$ 又是 $\left(C^{\perp}\right)^{\perp}$ 的生成矩阵. 于是 $\left(C^{\perp}\right)^{\perp}=C$. 证毕.

现在证明 $MDS$ 线性码的对偶码仍是 $MDS$ 码.

定理 5 设 $C$ 是参数为 $[n, k, d]$ 的 $p$ 元线性码, $\boldsymbol{G}$ 和 $\boldsymbol{H}$ 分别为码 $C$ 的一个生成矩阵和校验矩阵,则以下 $4$ 个条件彼此等价:
$(1)$ $C$ 是 $MDS$ 码, 即 $n=k+d-1$;
$(2)$ $\boldsymbol{H}$ 中任意 $n-k$ 个不同的列都线性无关;
$(3)$ $\boldsymbol{G}$ 中任意 $k$ 个不同的列均线性无关;
$(4)$ $C^{\perp}$ 是 $MDS$ 码.
证明: $(1)\Leftrightarrow (2)$. 若 $n=k+d-1$, 则 $d=n-k+1$, 则 $C$ 的校验矩阵 $\boldsymbol{H}$ 中任意 $n-k$个不同列都是线性无关的。(定理 $2.2.1$). 反之,若 $\boldsymbol{H}$ 中任意 $n-k$ 列都线性无关, 则 $d \geqslant n-k+ 1$. 但是 $Singleton$ 界给出 $d \leqslant n-k+1$, 所以 $d=$ $n-k+1$. 这就证明了 $(1)$ 和 $(2)$ 是等价的.
$(3)\Leftrightarrow (4)$. 设 $C^{\perp}$ 的 $3$ 个基本参数为 $\left[n^{\perp}, k^{\perp}, d^{\perp}\right]$, 则 $n^{\perp}=n, k^{\perp}=n-k$. 所以 $C^{\perp}$ 是 $MDS$ 码 $\Leftrightarrow d^{\perp}=n^{\perp}-k^{\perp}+1=n-(n-k)+1=k+1 \Leftrightarrow G$ 的任意 $k$ 个不同列均线性无关.
最后一个推断是因为 $\boldsymbol{G}$ 为 $C^{\perp}$ 的校验矩阵且 $\operatorname{rank} \boldsymbol{G}=k$. 这就证明了 $(3)$ 和 $(4)$ 等价.
最后证明 $(1)$ 和 $(3)$ 等价. 记

\[\boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{v}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{v}_k \end{array}\right]=\left[\boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{u}_n^{\mathrm{T}}\right] \]

其中, $v_1, \cdots, v_k$ 是线性码 $C$ 的一组基,而 $\boldsymbol{u}_1, \cdots, \boldsymbol{u}_n \in F_p^k$. 如果 $C$ 不是 $MDS$ 码, 即 $d \leqslant n-$ $k$, 则 $C$ 中有非零码字 $\boldsymbol{c}=\alpha_1 \boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_k \boldsymbol{v}_k$, 使得 $1 \leqslant w_H(\boldsymbol{c}) \leqslant n-k$. 于是 $\boldsymbol{c}=\left(c_1, \cdots, c_n\right)$ 中至少有 $k$ 位为零. 不妨设 $c_1=\cdots=c_k=0$, 则

\[\begin{aligned} \left(c_1, \cdots, c_n\right) & =\boldsymbol{c}=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_k\right) \boldsymbol{G} \\ & =\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_k\right)\left[\boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{u}_n^{\mathrm{T}}\right] . \end{aligned} \]

由 $c_1=\cdots=c_k=0$ 给出 $\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_k\right) u_i^T=0(1 \leqslant i \leqslant k)$. 由于 $c \neq 0$, 可知 $F_p$ 中元素 $\alpha_1, \cdots, \alpha_k$ 不全为 $0 $ , 即齐次线性方程组 $\left(x_1, \cdots, x_k\right) \boldsymbol{u}_i^{\mathrm{T}}=0(1 \leqslant i \leqslant k)$ 在 $F_p$ 中有非零解 $\left(x_1, \cdots, x_k\right)=\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_k\right)$.所以 $\boldsymbol{G}$ 中前 $k$ 列 $\boldsymbol{u}_1^{\mathrm{T}}, \cdots, \boldsymbol{u}_k^{\mathrm{T}}$ 是线性相关的.(这里用到了线性代数的一个结论——矩阵的行秩等于列秩) 反过来推理可以知道, 若 $\boldsymbol{G}$ 有 $k$ 个不同的列是线性相关的, 则 $C$ 中有码字 $\boldsymbol{c}$, 使得 $1 \leqslant w_H(\boldsymbol{c}) \leqslant$ $n-k$. 这就证明了 $(1)$ 和 $(3)$ 等价. 证毕.

我们实际证明了： $d\leq n-k \Leftrightarrow \boldsymbol{G}$ 有 $k$ 个不同的列线性相关。请思考：这番推导过程能否进行推广以证明： $d\leq n-m(m\geq k) \Leftrightarrow \boldsymbol{G}$ 有 $m$ 列线性相关。从而建立了一个像定理 $2.2.1$ 那样的揭示生成矩阵和最小距离 $d$ 关系的定理。(很遗憾,这是不能做到的,不过还是请读者想一想为什么。)

定理 $5$ 表明, 若 $C$ 是参数为 $[n, k, d]$ 的 $MDS$ 线性码, 则 $C^{\perp}$ 也是 $MDS$ 码, 参数为 $[n$, $\left.n-k, d^{\perp}\right]$, 其中, $d^{\perp}=n-(n-k)+1=k+1$.但是, 若 $C$ 不是 $MDS$ 码时, 决定对偶码 $C^{\perp}$ 的最小距离 $d^{\perp}$ 不是一件容易的事情. 事实上, $d^{\perp}$ 不是由码 $C$ 的参数 $[n, k, d]$ 所决定的.

或者应当这样说,码 $C$ 的参数 $[n,k,d]$ 并不能决定码 $C$ 的校验矩阵的一些精细性质.在研究码的很多问题时,$[n,k,d]$ 给出的信息远远不够,就像我们知道的——存在互相不等价的码，但是它们具有同样的参数。

例 6 设 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是以 $\boldsymbol{H}_1=$ $\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{H}_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 为校验阵的二元线性码, 它们的参数都是 $[n, k, d]=[4,2,2]$ (由于 $\boldsymbol{H}_1$ 和 $\boldsymbol{H}_2$ 中每列都不是零向量, 并且都有两列相同, 所以 $C_1$ 和 $C_2$ 的最小距离都是 $2$). $C_1$ 和 $C_2$ 的生成矩阵分别是 $\boldsymbol{G}_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{G}_2=$ $\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$, 它们分别是 $C_1^{\perp}$ 和 $C_2^{\perp}$ 的校验矩阵.由于 $\boldsymbol{G}_1$ 中有列向量为 $\mathbf{0}$, 所以 $C_1^{\perp}$ 的最小距离是 $1$ , 而 $C_2^{\perp}$ 的最小距离是 $2$.

为了计算 $C^{\perp}$ 的最小距离 $d^{\perp}$, 需要线性码 $C$ 中比基本参数 $[n, k, d]$ 更多的信息.

定义 7 设 $C$ 是码长为 $n$ 的 $p$ 元线性码. 对每个 $i, 0 \leqslant i \leqslant n$, 用 $A_i$ 表示 $C$ 中汉明重量为 $i$ 的码字个数, 称 $\left\{A_0, A_1, \cdots, A_n\right\}$ 为线性码 $C$ 的重量分布. 而关于 $z$ 的整系数多项式

\[f_C(z)=A_0+A_1 z+\cdots+A_n z^n \]

叫做码 $C$ 的重量多项式,其中, 系数 $A_i$ 都是非负整数.

首先, 线性码中只有一个重量为 0 的码字,即零向量, 所以必然 $A_0=1$. 其次, $C$ 中一共有 $p^k$ 个码字, 因此

\[A_0+A_1+\cdots+A_n=|C|=p^k . \]

最后, 若 $d$ 是 $C$ 的最小距离, 则 $C$ 中没有重量为 $1,2, \cdots, d-1$ 的码字, 但是有重量为 $d$ 的码字,即 $A_1=A_2=\cdots=A_{d-1}=0, A_d \geqslant 1$, 所以 $d$ 就是满足 $A_i=0$ 的最小正整数 $i$. 这就表明由 $C$ 的重量分布可以决定 $C$ 的信息位数 $k$ 和最小距离 $d$.

(关于马克威廉姆斯发现的恒等式,由于笔者复分析学的糟糕暂时还不能完全理解,不理解的内容我是不会打出来的，所以这一节有大量内容被我省略了，望海涵，待更)

例 8 给一个自正交码的有启发性的例子。考虑以

\[\boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{llllllll} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \]

为生成矩阵的二元线性码 $C$，我们计算 $C$ 的重量分布. 可直接验证 $\boldsymbol{G}$ 的 $4$ 个行向量彼此正交,每个行向量也都自正交.由于它们是 $C$ 的一组基, 所以 $C$ 是自正交码, 即 $C \subseteq C^{\perp}$. 但是 $C$ 的参数为 $[n, k]=[8,4]$, 而 $\operatorname{dim} C^{\perp}=n-\operatorname{dim} C=n-k=4=\operatorname{dim} C$, 从而 $C=$ $C^{\perp}$, 即 $C$ 是自对偶码.
首先, 由于 $C$ 的基向量(即 $\boldsymbol{G}$ 的 $4$ 行)的汉明重量都为偶数, 可知 $C$ 的每个码字的汉明重量都是偶数 (原因请读者思考). 进一步, 要证明 $C$ 的每个码字 $\boldsymbol{c}$ 的汉明重量 $w(\boldsymbol{c})$ 都是 $4$ 的倍数. 对于任意向量 $\boldsymbol{u}=\left(u_1, \cdots, u_8\right)$ 和 $\boldsymbol{v}=\left(v_1, \cdots, v_8\right) \in$ $F_2^8$, 定义

\[\boldsymbol{u} \cap \boldsymbol{v}=\left(u_1 v_1, \cdots, u_8 v_8\right) \in F_2^8, \]

则当 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 都是 $C$ 中码字时, $(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})=0 \in F_2$.于是

\[w(\boldsymbol{u} \cap \boldsymbol{v}) \equiv \sum_{i=1}^8 u_i v_i \equiv(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \equiv 0 \quad(\bmod 2),\tag{1} \]

即 $w(\boldsymbol{u} \cap \boldsymbol{v})$ 为偶数. 进而对每个 $\alpha \in F_2$, 以 $w(\alpha)$ 表示 $\alpha$ 的汉明重量, 即 $w(0)=0, w(1)=$ 1 , 则容易验证 $w\left(u_i+v_i\right)=w\left(u_i\right)+w\left(v_i\right)-$ $2 w\left(u_i v_i\right)$. 对 $i=1,2, \cdots, 8$ 相加, 可知对 $F_2^8$ 中任意两个向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$, 都有

\[w(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=w(\boldsymbol{u})+w(\boldsymbol{v})-2 w(\boldsymbol{u} \cap \boldsymbol{v}) .\tag{2} \]

$C$ 中每个码字都是生成矩阵的行向量 $\boldsymbol{c}_1$, $\boldsymbol{c}_2, \boldsymbol{c}_3, \boldsymbol{c}_4$ 的线性组合. 这些基向量 $\boldsymbol{c}_i$ 的汉明重量都是 $4$ 的倍数. 由式 $(1)$ 知 $w\left(\boldsymbol{c}_i \cap \boldsymbol{c}_j\right)$ 都是偶数,所以由 $(2)$ 式知 $w\left(\boldsymbol{c}_i+\boldsymbol{c}_j\right)$ 是 $4$ 的倍数. 再令 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{c}_i+\boldsymbol{c}_j, \boldsymbol{v}=\boldsymbol{c}_k(1 \leqslant i, j, k \leqslant 4)$. 由 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in C$ 和 $(1)$ 式知 $w(\boldsymbol{u} \cap \boldsymbol{v})$ 是偶数, 再由 $(2)$ 式又知 $w(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=w\left(\boldsymbol{c}_i+\boldsymbol{c}_j+\boldsymbol{c}_k\right)$ 是 $4$ 的倍数. 继续下去, 便知 $C$ 中所有码字的汉明重量都是 $4$ 的倍数.

以上实际上证明了对于一个二元自正交码 $C$, 若 $C$ 的一组基向量中每个基向量的汉明重量都是 $4$ 的倍数, 则 $C$ 的所有码字的汉明重量都是 $4$ 的倍数. $2.4$ 节研究二元戈莱码时要用这个结果.

这样一来, 例中二元线性码 $C([n, k]=[8$, $4])$ 的重量分布 $A_i(0 \leqslant i \leqslant 8)$ 当中, 只可能 $A_0$, $A_4$ 和 $A_8$ 是正的. 已知 $A_0=1, A_0+A_4+A_8=$ $2^k=16,A_8=1$. 于是 $A_4=16-A_1-$ $A_8=14$. 所以 $C$ 的重量多项式为 $1+14 z^4+z^8$.

习题

$1.$ 证明矩阵的行秩等于列秩。回忆线性代数中我们得到这个定理的过程,是否有非常自然的看出这个定理的方式？

posted @ 2024-07-02 17:32 沙棘数学社阅读(254) 评论(1) 收藏举报

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2.3 线性码的对偶性

习题

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