摘要：
6/3 CF1498C *1600 设 \(f_{i, j}\) 表示一个前面有 \(i\) 个挡板，能量级为 \(j\) 的粒子最终分裂成多少个，\(f_{i, j} = \begin{cases}f_{i - 1, j} + f_{n - i, j - 1}\\1 \quad i = 0\lan 阅读全文
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欧拉函数 定义 \[\phi(n) = \sum_{i = 1}^n [(i, n) = 1] \]公式 对于所有质数，显然有 \(\phi(n) = n - 1\)。 对于 \(n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\)， \[\phi(n) = n(1 - 阅读全文
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Prüfer 序列 \(n\) 个点的有标号无根树可以与一个长度为 \(n - 2\) 的 Prüfer 序列对应。 从树到 Prüfer 序列 \(f\) 为空序列。 如果当前树上多于两个节点，假设当前标号最小的叶子为 \(x\)，与 \(x\) 相连的节点标号为 \(y\)，那么把 \(x\) 阅读全文
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集合幂级数 集合到整数 设 \(n\) 元集 \(A = a_1, a_2, \cdots, a_n\)，定义 \(A\) 的幂集 \(2^{A} = \{S\mid S \subseteq A\}\) 到整数集 \(\mathbb{Z}\) 的映射 \(\text{id}\) 为： 若 \(S = 阅读全文
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Miller_Rabin 首先考虑方程 \(x^2 \equiv 1 \pmod n\)。 可以写成 \((x + 1)(x - 1) = kn\)。 当 \(n\) 为素数时，只可能 \(n \mid x + 1\) 或 \(n \mid x - 1\)，反之合数不满足。 得到结论： 在模素数意义 阅读全文
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P1829 [国家集训队] Crash的数字表格 / JZPTAB 不妨假设 \(n < m\)。 \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i, j)} &= \sum_{d = 1}^n\sum_{i = 1}^n 阅读全文
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A 每一轮对总分的贡献都是 \(2\)，如果 \(p_1 + p_2 + p_3\) 为奇数则无解。 \(p_1 + p_2 \le p_3\)，最多 \(p_1 + p_2\) 轮。 \(p_1 + p_2 > p_3\)，可以 \(1, 2\) 轮流将 \(3\) 耗完，然后互相匹配，最多 \( 阅读全文
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等价类 在计数问题中，需要明确计数的对象中哪些是视为相同的，哪些是不同的。我们可以在对象的集合上定义一种 等价关系，然后对 等价类 计数。 关系 对于一个集合 \(X\)，它的关系是集合 \(X\times X\) 的一个子集 \(R\)。如果对于 \(x, \ y \in X\)，有 \((x, 阅读全文
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形式幂级数的更多运算 形式幂级数与幂级数的比较 形式幂级数本质是序列（\(x^i\) 无意义），幂级数本质是极限。 形式幂级数通过带入 \(x\) 还原成幂级数。 假设系数在 \(\mathbb{C}\) 上，可以证明形式幂级数与具有正收敛半径的幂级数在 '通常' 的所有运算上服从同样规律（加减乘除 阅读全文
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阶与原根 阶 若正整数 \(m, \ a\)，满足 \((a, m) = 1\)，则使 \(a^n\equiv 1 \pmod m\) 的最小正整数 \(n\) 称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。 \(\delta_7(1) = 1, \ \delta_7 阅读全文
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多项式的表示形式 系数表示与点值表示 假设 \(f(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式，则 \(f(x)\) 的系数表示为 \(f(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0\) \(f(x)\) 的点值表示为 \((x_0, f(x_0)), 阅读全文