学习笔记：集合幂级数与 FWT

集合幂级数

集合到整数

设 \(n\) 元集 \(A = a_1, a_2, \cdots, a_n\)，定义 \(A\) 的幂集 \(2^{A} = \{S\mid S \subseteq A\}\) 到整数集 \(\mathbb{Z}\) 的映射 \(\text{id}\) 为：

若 \(S = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}\)，则 \(\text{id}(S) = \sum_{j = 1}^{k}2^{i_j - 1}\)，即状态压缩。

• \(\text{id}\) 定义了 \(2^A\) 到 \([0, 2^{n} - 1]\) 的一一映射。
• \(\text{id}(S\cup T) = \text{id}(S) \text{ | } \text{id}(T)\)。
• \(\text{id}(S\cap T) = \text{id}(S) \text{ & } \text{id}(T)\)。
• \(\text{id}(S \triangle T) = \text{id}(S) \text{ ^ } \text{id}(T)\)。（\(S \triangle T = S\cup T - S\cap T\)）

子集枚举：（枚举子集的子集）

for(int i = 0; i < 1 << n; ++ i) {
    for(int s = i; s; s = (s - 1) & i) {
        //
        if(s == 0) break;
    }
}

集合幂级数

给每个 \(S \in 2^A\) 赋予一个权值 \(w(S)\)，则它关联的集合幂级数为 \(f(x) = \sum_{S\subseteq A} w(S)x^{\text{id}(S)}\)。

与、或、异或卷积

对于集合幂级数 \(A, \ B\)，他们的与卷积 \(C = A * B\)，满足 \(c_k = \sum\limits_{i \&j = k}a_ib_j\)，或和异或有类似定义。

与卷积中的单位元：\(e(x) = x^{2^n - 1}\)，满足 \(\forall f(x) * e(x) = f(x)\)。

性质：\(\sum_{S\subseteq T}w(T) = [x^{\text{id}(S)}]f(x) * (1 + x + \cdots+ x^{2^n - 1})\)。（超集和）

快速沃尔什变换

对于集合幂级数 \(A, B\)，求他们的与卷积 \(C\)。

思路：\(A, B \xrightarrow{\mathcal F} A', B' \rightarrow C'\xrightarrow{\mathcal F^{-1}} C\)。（\(\mathcal F\) 是某种变换）