随笔分类 - 数学
摘要：$n<=10^{500}$的袋子按如下要求装东西的方案： 生成函数经典应用。把每一个东西对应的生成函数写出来，然后一乘，得到$\frac{x}{(1-x)^4}$。要求其$x^n$这项的次数，即$(1-x)^{-4}$的$x^{n-1}$的次数。 然后广义二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{i
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摘要：解方程$a^x\equiv b (mod c)$。 扩展bsgs。利用结论：$d=(a,c),a=d*x,b=d*y,c=d*z$，则$x*d\equiv y*d (\mod z*d)$ 等价于 $x \equiv y (mod z)$。 先把$c$消$(a,c)$直到$(a,c)=1$，同时b也消
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摘要：n<=1e9的序列，m<=8000是质数，给mod m下的s个不同数字，问：在序列里填集合中的数字，使最终序列里所有数的乘积mod m后为给定的x的序列有多少种。 喵喵题 首先可能可以往排列组合那边想，决定每个数选几个然后再全排列。但这个n有点大，行不通。 题目要求“选择若干项，求最终积为给定值的方
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摘要：原根判定：$m>2$，$\varphi (m)$的不同素数是$q_1,q_2,……,q_s$，$(g,m)=1$，则$g$是$m$的一个原根的充要条件是$g^{\frac{\varphi(m)}{q_i}} \not\equiv 1 (mod m)$。 原根一般很小可以暴力得。 1 //#inclu
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摘要：如题（大数乘法）。把FFT种的n次单位根换成模意义下的“n次单位原根”，即$G^{\frac{p-1}{n}}$即可。
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摘要：n<=1e5的ab串，问对称的不连续的回文子序列数。取模。 虽然是道卷积题但是根本看不出来耶！ 好吧没关系，要熟悉卷积那个图形：（红箭头那里是交于一点的，如果你觉得不是就是近视加深了） 好来看这个题，要是连续的可以用manacher得，所以不连续条件可先排除掉。 然后剩下的东西不就是要求这种形式的东
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摘要：n<=100000个实数$q_i$求数组f： $f(i)=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}-\sum _{j>i}\frac{q_j}{(j-i)^2},i\in [0,n)$ 题目的i和j是反过来的。。难受，不管啦。 两部分，先来第一个： $\sum_{j<i}\frac
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摘要：给A，B，求C，$C_k=\sum_{i=0}^{n-1}A_iB_{i-k}$。 B反过来就是模板了。能不能算一道题呢？ 1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstdlib> 5 #incl
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摘要：1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7 #include 8 using namespace std; 9 10 #define LL long long 11 LL n; 12 #define maxs 80 13 LL fac[maxs],num[maxs],lf=0; 14 ...
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摘要：n<=1e10,求1<=i<=n,1<=j<=n,lcm(i,j)的和。 又是充满坎坷的简单题。。。 Wait a minute 先打个miu和phi的表，以及一个暴力，随时检查式子！ 来吧！ $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[i,j]$ $=\sum_{i=1}^{n}\
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摘要：n<=1e10，问1<=i<=n,1<=j<=n,gcd(i,j)的和%1e9+7。 QAQ自推的第一道，虽然很简单而且走了很多弯路而且推错了一次被ccz大爷调教，但还是挺感动的。。 其实在推数论之前可以先打个$\mu$和$\varphi $的表，推个两三步就验证一下，否则如果是大数论题，推错的后果
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摘要：$n^2-3n+2=\sum_{d|i}f(i)$，问$f(i)$前$n$项和。 方法一：直接切入！ $S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)=\sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2-\sum_{d|i,d<i}f(d))=\sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2)-\sum_
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摘要：杜教筛模板 给$\mu$找个函数1，因为$\mu * 1=I$，其中I是元函数，I(x)=[x==1]。 那就$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)=\sum_{k=1}^{n}1\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rf
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摘要：求$\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)$，$n\leqslant 1e10$。 这里先把杜教筛的一般套路贴一下： 要求$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$，而现在有一数论函数$g(i)$，$g(i)$的前缀和很无脑，且$f$和$g$的狄利克雷卷积的前缀和很无脑（太巧了吧
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摘要：求：$\sum_{m=1}^{n}\sum_{p=1}^{M}\sum_{q=p+1}^{M}[(p,q)=1][p+q\geqslant M]\frac{1}{pq}$保留四位小数，$n\leqslant 1e7$。 $\sum_{M=1}^{n}\sum_{p=1}^{M}\sum_{q=p+1
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摘要：求：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}(d,\frac{i}{d})$. 重要套路：$(a,b)=d,ab\leqslant n$ 求这个(a,b)的个数，又要保证后面的限制，可以这样缩：符合要求的$(a,b)$一定有$x,y$使得$(x,y)=1,xd*yd<=n$，因此$xy<=
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摘要：n<=30000个同余方程：$x_i\equiv k_i*x_{p_i}+b_i (mod 10007)$。m<=100000个操作：一、修改某个不等式的$k_i,p_i,b_i$，二、查询某个变量的值。无解-1，无穷解-2. 极其好玩的一道题。不像某些“绝世好题”实际是水题。。 首先按依赖关系可以
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摘要：n<=2e6的数组，m<=2e6个询问，对1<=i<=m的每个i问：只用<=i的数字填进数组，有多少种方案使数组的总gcd=1.强制把每个询问的答案求出来。 比如说现在有个确定的i=t，然后看看答案怎么算先。先把所有情况加起来，然后除去gcd=2，3，4，5，……的，那直接统计有多少gcd=2，3，
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摘要：n<=10000000的图，满足：如果(i,j)>1就连一条边权1的无相变，问所有d(u,v) (u<=v)--u到v的最短路之和。 首先1和>n/2的质数都是孤立的点。然后两个数x,y如果(x,y)>1最短路就1，如果(x,y)=1且x,y都不是1或>n/2的质数一定能走，具体这么走：$P_x$-
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