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摘要： 这部分内容比较基础。 什么是计数组合？它是组合学的分支，注重于计算满足某个条件的组合对象的方案数。 有时方案数很难具体求出，此时我们可以转而关心方案的数量级，这就是解析组合（需要用到复分析工具） 1.组合数的基本性质以及排列组合 首先给出最基础的\(2\)种计数方法：加法原理和乘法原理（定理1.1, 阅读全文

摘要： 定义\(n\)元函数\(f\)单调递增：如果对于所有 \(x,y\), 如果\(x_i\leq y_i\)对于\(i=1...n\)成立，那么\(f(x)\leq f(y)\)。 如果\(f,g\)单调递增，并且定义域内的\(n\)个随机变量都两两独立，那么\(E(fg)\geq E(f)E(g)\ 阅读全文

摘要： 定义图\(G\)的chromatic polynomial(\(n=|V(G)|,m=|E(G)|\)）:\(f(G,x)\)为将图染成\(x\)种颜色，并且每条边的两个端点颜色都不同的方案数。 \(x\)必须是正整数。 \(f\)是一个多项式，且次数为\(n\)。 证明：设\(g(G,i)\)表示 阅读全文

摘要： 为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难为什么结构图论这么难 阅读全文

摘要： 最近没什么心情更新博客，原来的文章可能永远都不会修改 由于学校组合数学课即将学到拉反，所以预习一下 拉反的描述：给定一个形式幂级数\(F(x)\)满足方程关系\(x=\frac{F(x)}{G(F(X))}\)，它是代数组合学最重要的定理之一。 \(F\)可能没有解析解，有时我们想要求出\(F\)的 阅读全文

摘要： 给定正整数\(a\)，令\(f(x)=x^2+x-a\)，求证： (1).对于自然数\(n\)如果\(f(n)\)为完全平方数，那么\(n\leq a\) (2).仅存在一个自然数\(n\)使得\(f(n)\)为完全平方数的充要条件为\(4a+1\)是质数 (1)：如果\(f(n)\)为完全平方数， 阅读全文

摘要： 记一道数论题（IMO的），这道题难度不大但是有点意思。 题目：任意给定整数\(k_1...k_n\)（\(n\)是正奇数），定义\(F(a)\)（a为\(1...n\)的排列）\(=\sum_{i=1}^nk_ia_i\)。 证明：存在\(c,d\)，\(S(c)\equiv S(d)(\mod n 阅读全文

摘要： (3)使用不动点法求\(a\)的通项公式\( a_{n+1}=\frac{a_n+7}{a_n+1},a_{n+1}-\sqrt{7}=\frac{a_n+7}{a_n+1}-\sqrt{7}\) \(a_{n+1}-\sqrt{7}=\frac{(a_n-\sqrt{7})(1-\sqrt{7}) 阅读全文

摘要： (1)先证明\(x_n>0\)，使用归纳法，假设\(x_n>0\)，\(x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})\) 设\(f(x)=x+\ln(1+x),f'(x)=1+\frac{1}{1+x}>0,f(x)\)在\((0,+\inf)\)单调递增 \(f(0)=0,x_n>0,f( 阅读全文

摘要： (1)考虑证明当\(k>0,n>k,-a_n<2^{n-k}(|a_k|-2)<a_n\) 当\(|a_k|\leq 2\)，此时\(2^{n-k}(|a_k|-2)<0<|a_n|\)，得证 当\(|a_k|>2\)，\(|a_n-\frac{a_{n+1}}{2}|\leq 1,2a_n-2\l 阅读全文