Chromatic polynomial小记

定义图\(G\)的chromatic polynomial(\(n=|V(G)|,m=|E(G)|\)）:\(f(G,x)\)为将图染成\(x\)种颜色，并且每条边的两个端点颜色都不同的方案数。
\(x\)必须是正整数。
\(f\)是一个多项式，且次数为\(n\)。
证明：设\(g(G,i)\)表示将\(G\)划分成非空的独立集的方案数。
那么用恰好\(i\)种颜色，且标号为\(1,2,...i\)将图染色的方案是\(g(G,i)i!\)（因为相同颜色所构成的子图必须是独立集合，且将\(i\)个集合用\(i\)种颜色染色且不同集合染的颜色不同有\(i!\)种染色方案）。
但是我们有\(k\)种颜色，所以我们可以选择\(k\)种颜色（方案是\(\binom{x}{i}\)），所以该情况方案数是\(g(G,i)\frac{x!}{(x-i)!}\)
所以\(f(G,x)=\sum_{i=1}^ng(G,i)\frac{x!}{(x-i)!}\)，显然是关于\(k\)的一个\(n\)次多项式
所以如果我们知道\(f(1),f(2),...,f(n)\)，通过插值我们就能得知\(f\)。
\(f\)的计算公式：\(f(G,x)=f(G\backslash e,x)-f(G/e,x),e\in G\)（\(e\)可以任意取）。设\(e=ab\)。
这是因为在\(f(G\backslash e,x)\)中，\(a,b\)的颜色可能相等，也可能不同。我们需要减去\(a,b\)颜色相同的方案。
而对于\(f(G/e,x)\)的所有方案，如果我们将\(G\)的\(a,b\)染成和该方案在\(G/e\)中相同的颜色，那么它满足了\(G\backslash e\)的所有边端点颜色都不同的限制，但是不满足\(G\)中\(e\)的限制。
对于所有\(a,b\)颜色相同的方案，如果将\(a,b\)收缩成一个点，新点\(z\)的颜色取\(a,b\)中较小的那一个的颜色（假设\(G\)中的所有节点的编号能比较大小）那么我们得到了一个\(G/e\)的一个染色方案。（可以证明这是一个双射，过程略去）
所以我们可以构造\(G\)中\(a,b\)颜色相同的方案到\(G/e\)的所有染色方案的双射。所以\(f(G,x)=f(G\backslash e,x)-f(G/e,x)\)。
\(f\)的几个性质：
1.\([x^n]f(G,x)=1\)。
2.\(f\)的正负项交替出现。
3.\([x^{n-1}]f(G,x)=-m\)。
4.\([x^0]f(G,x)=0\)。
5.对于两张没有公共点，边的图\(G,H\)，包含\(G,H\)的边，点的图的色多项式为\(f(G,x)f(H,x)\)
对于\(1,2,3,4\)显然\(n=1\)成立
对\(m\)归纳证明对于所有\(n\)成立。显然当\(m=0\)，\(f(G,x)=x^n\)，显然满足这些条件。
假如对于\(m=0,...,k-1\)该结论成立。
首先，根据归纳假设，由于\(G\backslash e,G/e\)边数都比\(m\)少，\([x^n]f(G,x)=[x^n]f(G\backslash e,x)-[x^n]f(G/e,x)=1-0=1\)。
而且\(G\backslash e,G/e\)的色多项式最高次项分别为\(n,n-1\)，所以\(f(G,x)\)的最高次项为\(n\)，1成立。
\([x^{n-1}]f(G,x)=[x^{n-1}]f(G\backslash e,x)-[x^{n-1}]f(G/e,x)=-m+1-1=m\) （因为\(G/e\)有\(n-1\)个点，\(G\backslash e\)有\(m-1\)条边）。所以3成立。
\([x^0]f(G,x)=[x^0]f(G\backslash e,x)-[x^0]f(G/e,x)=0-0=0\)，所以4成立
由于\(G,H\)没有公共点，用\(x\)种颜色将\(G,H\)染色的方案数根据乘法原理是\(f(G,x)f(H,x)\)，所以\(5\)成立。
对于所有\(i\)，\([x^i]f(G,x)=[x^i]f(G\backslash e,x)-[x^i]f(G/e,x)\)。
由于\(G\backslash e\)和\(G\)点数相同，由于\(G/e\)比\(G\)少一个点，所以\([x^i]f(G\backslash e,x)\)的正负性和\(f(G/e,x)\)相反。
所以\([x^i]f(G,x)\)正负性和\(f(G\backslash e,x)\)相同，根据归纳假设得证。
通过该过程，我们求得树\(T\)的色多项式\(x(x-1)^{n-1}\)。
可以使用归纳证明，\(n=1\)显然。
\(f(G\backslash e,x)=x^2(x-1)^{n-2}\) （因为\(G\backslash e\)有恰好\(2\)个连通块，如果他们有\(k,n-k\)个点，根据性质\(5\)和归纳假设共有\(x(x-1)^{n-k-1}x(x-1)^{k-1}\)种方案）。根据归纳假设，\(G/e\)是树，所以\(f(G/e,x)=x(x-1)^{n-2}\)，所以\(f(G,x)=x(x-1)^{n-1}\)。
同理使用归纳法可以求出环的色多项式：因为收缩一条边后环会成为更小的环，删除一条边后环会变成树，所以可以求出环的色多项式\((-1)^n(x-1)+(x-1)^n\)（本文中略去推导过程）