计数组合小记1

这部分内容比较基础。
什么是计数组合？它是组合学的分支，注重于计算满足某个条件的组合对象的方案数。
有时方案数很难具体求出，此时我们可以转而关心方案的数量级，这就是解析组合（需要用到复分析工具）
1.组合数的基本性质以及排列组合
在组合学中最基础的计数原理：加法原理和乘法原理
这两个原理基于集合的性质：当\(A,B\)的交集为空时\(|A\cup B|=|A|+|B|\)，并且对于任意\(A,B\)，\(|A\times B|=|\{(a,b):a\in A,b\in B\}=||A||B|\)
这说明假设
首先考虑如下问题：给定集合\(S\)，\(|S|=n\)，有多少种方案能把\(S\)中的元素排成一个序列，使得\(S\)的每个元素在这个序列中恰好出现一次？
序列\(A,B\)不同当且仅当存在\(i\)使得\(A_i\neq B_i\)
显然第一个数有\(n\)种选法，第二个数有\(n-1\)种选法...第\(k\)个数有\(n-k+1\)种选法
所以根据乘法原理共有\(m\)
约定组合数\(\binom{n}{k}\)：从\(n\)个数中选出\(k\)个数，求这\(k\)个数能组成的集合的个数。
当且仅当\(n,k\)是正整数这个组合数才有定义。
要求\(0\leq k\leq n\)，其他情况这个组合数的值等于\(0\)。

2.双射/算两次证明

个人认为它们是组合学中最基础的两种证明方法
首先是算两次：显然对于某个组合对象，我们使用两种不同的方法计算他们的
双射证明通常用于证明组合等式

3.容斥原理与二项式反演

4.单位根反演

5.普通生成函数

6.组合类，符号化方法

7.字符串计数

8.格路

9.指数型生成函数

10.递推关系