随笔分类 - 数学&数论
摘要：题目大意 给你 $n,k$，求 $$ S_k(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k) $$ 对 $2^{64}$ 取模。 题解 一个min_25筛模板题。 令 $f(n)=\sigma_0(n^k)$，那么 $S_k(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$，而且 $$ \begi
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摘要：题目描述 同 "Comb Avoiding Trees" 不过只用求一项。 $n,k\leq {10}^7$ 题解 不难发现一棵 $n$ 个叶子的树唯一对应了一个长度为 $2n 2$ 的括号序列。 往左儿子走对应加一个左括号，退到上一个只有左儿子的点，往右儿子走对应加一个右括号，那么合法的树一定满足
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摘要：题目描述 有一棵 $n$ 个点的树。你从点 $x$ 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。 有 $q$ 次询问，每次询问给定一个集合 $S$，求如果从 $x$ 出发一直随机游走，直到点集 $S$ 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。 特别地，点 $x$（即起点）视为一开始就被经过
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摘要：题目描述 记$sgcd(i,j)$为$i,j$的次大公约数。 给你$n$，求 $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k $$ 对$2^{32}$取模。 $n\leq {10}^9,k\leq 50$ 题解 记$f(n)$为$n$的次大因数 显然$sgcd(i,
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摘要：题目描述 给你$n$，求 $$ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} $$ 对${10}^{12}+39$取模。 $\sigma_0(i)$表示约数个数。 题解 把式子拆成两部分： $$ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}
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摘要：题目描述 有一个递推式： $$ \begin{align} f_0&=1 \frac{1}{e}\\ f_n&=1 nf_{i 1} \end{align} $$ 求 $f_n$ $n\leq 10000$ 题解 如果直接按照式子推的话会爆精度，因为误差是阶乘级别放大的。 但是我们可以逆过来递推。
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摘要：题目描述 给你 $n,E,s_i,k_i,v_i'$，要求在 $$ \sum_{i=1}^nk_i{(v_i v_i')}^2s_i\leq E $$ 的前提下最小化 $$ \sum_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i} $$ $n\leq 10000,0\leq E\leq {10}^8,
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摘要：题目描述 在平面上找 $n$ 个点，要求这 $n$ 个点离原点的距离分别是 $r_1,r_2,\ldots,r_n$，最大化这 $n$ 个点构成的土包的面积。这些点的顺序任意。 $n\leq 8$ 题解 先枚举凸包上的点和顺序。 不妨设 $r_{n+1}=r_1$ 面积为：$\frac{1}{2}(
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摘要：题目描述 有一个$n\times n$的网格，除了左下角的格子外每个格子的中心里都有一个圆，每个圆的半径为$R$，问你在左下角的格子的中心能看到多少个圆。 $n\leq {10}^9,R_0\leq {10}^6,R=\frac{R_0}{{10}^6}$ 题解 先枚举格子，判断是否能看到。 显然能
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摘要：题目描述 有$n$种面值不同的硬币，每种有无限个，且任意两个$(x,y)$要么$x$是$y$的倍数，要么$y$是$x$的倍数。 你要取$m$元钱，问你有多少种不同的取法。 $n\leq 50,m\leq {10}^{18}$ 题解 假设面值为$a_1,a_2,\ldots,a_n$ 先把所有硬币按面
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摘要：题目描述 有$n$个方案，编号为$1\ldots n$。 最开始你不知道每个方案的编号。 你要按顺序提出这些方案。 每一个时刻你要做以下事情： 如果你阅读过下一个方案，就提出这个方案。 否则随机选一个你还没有阅读过的方案，然后阅读这份方案。如果这份方案是你马上要提出的方案，就提出这份方案，否则把这份
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摘要：题目描述 给你$n,k,p$（$p$为质数），求 $$ \sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\mod p^k $$ 保证有解。 $p\leq {10}^5,np^k\leq {10}^{18}$ 题解 为什么会有解？ 可能会发生这样的情况： $$ \begin{align} &\sum_{
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摘要：题目描述 有$1\sim n$一共$n$个数。保证$n$为偶数。 你要把这$2n$个数两两配对，一共配成$n$对。每一对的权值是他们两个数的和。 你想要知道这$n$对里最大的权值的期望是多少。 请输出答案对$1000000007$取模的值。 $n\leq 500000$ 题解 枚举$v$，计算最大权
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摘要：题目描述 三倍经验题。 给你$n,m$，求 $$ \sum_{i=1}^ni^mm^i $$ $n\leq {10}^9,1\leq m\leq 500000$ 题解 当$m=1$时$ans=\frac{n(n+1)}{2}$ 剩下的部分这篇博客有讲 "YWW's Blog" 时间复杂度：$O(m+
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摘要：题目描述 已知$f(x)$为$k$次多项式。 给你$f(0),f(1),\ldots,f(k)$，求 $$ \sum_{i=1}^nf(i)q^i $$ $k\leq 500000,n\leq {10}^{18},q\neq 1$ 题解 当$q=0$时答案为$f(0)$ 当$q=1$时：记$S(n)
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摘要：题目描述 给你$n,k$，要你选一些互不相同的正整数，满足这些数的$lcm$为$n$，且这些数的和为$k$的倍数。 求选择的方案数。对$232792561$取模。 $n\leq {10}^{18},k\leq 20$，$n$的全部质因子都$\leq 100$ 题解 解法一 一个$\leq {10}^
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摘要：题目描述 给你$n,p$，求 $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^i\gcd(i,j,k)\mod p $$ $n\leq {10}^9$ 题解 $$ \begin{align} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^
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摘要：题目描述 给你一个数列： $$ f_n=\begin{cases} a^n&1\leq n\leq k\\ \sum_{i=1}^k(a 1)f_{n i}&n k \end{cases} $$ 记$g_i$为当$k=i$时$f_n$的值，求 $$ \sum_{i=1}^mg_i\times {19
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摘要：题目大意 你有$s_1$种$1\times 2$的地砖，$s_2$种$2\times 1$的地砖。 记铺满$m\times n$的地板的方案数为$f(m,n)$。 给你$m,l,r,s_1,s_2$，求$\sum_{i=l}^rf(m,i)$ $m\leq 6,1\leq l\leq r\leq {
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摘要：题目描述 有一个$n$个元素的置换，你要选择$k$个元素，问有多少种方案满足：对于每个轮换，你都选择了其中的一个元素。 对$998244353$取模。 $k\leq n\leq 152501$ 题解 吐槽 为什么一道FFT题要把$n$设为$150000$？ 解法一 先把轮换拆出来。 直接DP。 设$
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