【LOJ2542】【PKUWC 2018】随机游走 min-max容斥 树上高斯消元
题目描述
有一棵 \(n\) 个点的树。你从点 \(x\) 出发，每次等概率随机选择一条与所在点相邻的边走过去。
有 \(q\) 次询问，每次询问给定一个集合 \(S\)，求如果从 \(x\) 出发一直随机游走，直到点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的话，期望游走几步。
特别地，点 \(x\)（即起点）视为一开始就被经过了一次。
答案对 \(998244353\) 取模。
题解
这道题要求点集 \(S\) 中所有点都至少经过一次的期望步数，直接做不好做，要先用一个 min-max 容斥转换成走到点集 \(S\) 中第一个点的期望步数：
\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}{(-1)}^{|T|+1}\min(T)
\]
然后就可以列方程高斯消元了。
\(f_i\) 表示从 \(i\)走到最近的点所需要的最小步数。
\[\begin{align}
f_i&=1+\frac{1}{d_i}f_{fa}+\frac{1}{d_i}\sum_v f_v
\end{align}
\]
直接高斯消元是 \(O(n^3)\) 的，但是我们可以用一些技巧把这个过程加速到 \(O(n\log p)\)（\(\log p\) 来自求逆元）。
设 \(f_i=a_if_{fa}+b_i\)。特别的，如果 \(i\in S\)，那么\(a_i=0,b_i=0\)。
\[\begin{align}
f_i&=1+\frac{1}{d_i}f_{fa}+\frac{1}{d_i}\sum_{v}(a_vf_i+b_v)\\
&=1+\frac{1}{d_i}f_{fa}+\frac{1}{d_i}(\sum_{v}a_vf_i+\sum_{v}b_v)\\
d_if_i&=d_i+f_{fa}+\sum_{v}a_vf_i+\sum_{v}b_v\\
(d_i-\sum_{v}a_v)f_i&=d_i+f_{fa}+\sum_{v}b_v\\
f_i&=\frac{1}{d_i-\sum_{v}a_v}f_{fa}+\frac{\sum_{v}b_v+d_i}{d_i-\sum_{v}a_v}\\
\end{align}
\]
这样就可以从下往上递推得到\(a_i,b_i\)。
那么答案就是 \(b_x\)
然后就可以轻松算出询问每一个集合的答案了。
时间复杂度：\(O(n2^n\log p+qn)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c,b=0;
while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
if(c=='-')
{
c=getchar();
b=1;
}
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return b?-s:s;
}
void put(int x)
{
if(!x)
{
putchar('0');
return;
}
static int c[20];
int t=0;
while(x)
{
c[++t]=x%10;
x/=10;
}
while(t)
putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
ll f[100];
ll g[100];
vector<int> a[100];
int d[100];
int b[100];
void dfs(int x,int fa)
{
if(b[x])
{
f[x]=g[x]=0;
return;
}
f[x]=0;
g[x]=d[x];
ll k=d[x];
for(auto v:a[x])
if(v!=fa)
{
dfs(v,x);
k=(k-f[v])%p;
g[x]=(g[x]+g[v])%p;
}
k=fp(k,p-2);
f[x]=k;
g[x]=g[x]*k%p;
}
int n,q,rt;
ll s[1<<20];
int main()
{
open("loj2542");
scanf("%d%d%d",&n,&q,&rt);
int x,y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
a[x].push_back(y);
a[y].push_back(x);
d[x]++;
d[y]++;
}
for(int i=1;i<1<<n;i++)
{
int num=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
b[j]=((i>>(j-1))&1);
num+=b[j];
}
dfs(rt,0);
s[i]=g[rt];
if(!(num&1))
s[i]=-s[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<1<<n;j++)
if((j>>(i-1))&1)
s[j]=(s[j]+s[j^(1<<(i-1))])%p;
int k;
for(int i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%d",&k);
x=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d",&y);
x|=1<<(y-1);
}
printf("%lld\n",(s[x]+p)%p);
}
return 0;
}
