随笔分类 - 数学&数论
摘要：题目描述 有一个$n$个元素的随机置换$P$，求$P$分解出的轮换个数的$m$次方的期望$\times n!$ $n\leq 100000,m\leq 30$ 题解 解法一 有一种暴力的做法：设$f_{i,j}$为$i$个元素的随机置换$P$，分解出的轮换个数的$j$次方的期望$\times i!$
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摘要：题目描述 给你$n,k$，求 $$ \forall 0\leq t include include include include using namespace std; typedef long long ll; typedef pair pii; void open(const char s)
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摘要：一个比较慢的做法 首先你要知道矩阵的特征多项式是什么。 直接消元就可以了。 时间复杂度：$O(n^5)$或$O(n^4)$。 一个稍微快一点的做法 观察到特征多项式的次数是$n$。 我们就可以插值。 具体来说，先求出当$x=0\ldots n$时特征多项式对应的点值，然后直接用拉格朗日插值插出来。
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摘要：题目大意 定义复数$a+bi$为整数$k$的约数，当且仅当$a$和$b$为整数且存在整数$c$和$d$满足$(a+bi)(c+di)=k$。 定义复数$a+bi$的实部为$a$，虚部为$b$。 定义$f(n)$为整数$n$的所有实部大于$0$的约数的实部之和。 给定正整数$n$，求出$\sum_{i
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摘要：题目描述 给你$n,k,a_1\ldots a_n$，设 $$ ans_n=\sum_{i=1}^n{(\sum_{j=i}^ns(j))}^k\\ $$ 求$ans_1\ldots ans_n$ 对${10}^9+7$取模 $n\leq 50000,k\leq 100$ 题解 大水题 这题就是在搞
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摘要：题目描述 定义两个图$G_1$与$G_2$的异或图为一个图$G$，其中图$G$的每条边在$G_1$与$G_2$中出现次数和为$1$。 给你$m$个图，问你这$m$个图组成的集合有多少个子集的异或图为一个连通图。 $n\leq 10,m\leq 60$ 题解 考虑枚举图的子集划分，让被划分到不同子集的
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摘要：题目描述 对于置换$p$，定义$f(p)$为最小的正整数$k$，使得$p^k$为恒等置换。 你需要求对于所有的$n$元素置换$p$，$f^2(p)$的平均值。 $n\leq 200$ 题解 考虑把置换拆成很多个循环。 $f(p)$就是所有循环的长度的$lcm$ 可以考虑DP，设$f_{i,j}$为放
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摘要：这是一道交互题 题目大意 有一棵$n$个点的树。最开始$1$号点是白的，其他点是黑的。 每次你可以执行一个操作：$explore(x,y)$。要求$x$是一个白点。该函数会返回从$x$到$y$的路径上第二个点的坐标并把该点染白。 要求你把所有点都染成白色。 设操作次数为$t$。 对于$30\%$的数
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摘要：题目大意 给你一个无向图，有$m$个询问，每次给你一个点$x$和一个点集$S$，问你从$x$开始走，每次从一个点随机的走到与这个点相邻的点，问你访问$S$中每个点至少一次的期望步数是多少。 $n\leq 18,m\leq 100000$ 题解 有个东西叫min max容斥： $$ \max(S)=\
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摘要：题目描述 有一个长度为$n$的排列$n=2^k$，你要把这个数组归并排序。但是在长度为$2$的时候有$\frac{1}{2}$的概率会把两个数交换（就是有$\frac{1}{2}$的概率返回错的结果）。有两种操作 $1$：交换两个数 $2$：询问排序后的一个位置等于一个数的概率。 $k\leq 16
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摘要：题目描述 在一个$k$维空间中，每个整点被黑白染色。对于一个坐标为$(x_1,x_2,\ldots,x_k)$的点，他的颜色我们通过如下方式计算： 如果存在一维坐标是$0$，则颜色是黑色。 如果这个点是$(1,1,\ldots,1)$（每一维都是$1$），这个点的颜色是白色 如果这个点的$k$个前驱
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摘要：题目描述 给你三个排列$A,B,C$，求 $$ \sum_{1\leq x,y\leq n}[a_x include include include using namespace std; typedef long long ll; typedef pair pii; ll seed; ll rd
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摘要：题目描述 设$n=\prod a_i^{p_i}$，那么定义$f_d(n)=\prod{( 1)^{p_i}[p_i\leq d]}$。特别的，$f_1(n)=\mu(n)$。 给你$n,k$，求 $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^kf_d(\gcd(i,j
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摘要：题目描述 设$f(i)$为$i$的不同的质因子个数，求$\sum_{i=1}^n2^{f(i)}$ $n\leq{10}^{12}$ 题解 考虑$2^{f(i)}$的意义：有$f(i)$总因子，每种可以分给两个人中的一个。那么就有$2^{f(i)}=\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i
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摘要：题目描述 给你一个长度为$n$的数列$a$，求有多少个长度$\geq 2$的不上升子序列$a_{b_1},a_{b_2},\ldots,a_{b_k}$满足 $$ \prod_{i=2}^k\binom{a_{b_{i 1}}}{a_{b_i}}\mod 2 0 $$ 答案对${10}^9+7$取模
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摘要：题目大意 给你一个$n$个点$m$条边的无向图（可能有重边），对于这个图的边集的子集（一共有$2^m$个），如果其导出的子图的每个联通块内都存在欧拉回路，我们就把答案加上这个子图的边数的平方，答案对${10}^9+7$取模。 $n,m\leq 200000$ 题解 先求出这个图的DFS树。 记$c$
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摘要：题目大意 一行有$n$个球，现在将这些球分成$k$ 组，每组可以有一个球或相邻两个球。一个球只能在至多一个组中（可以不在任何组中）。求对于$1\leq k\leq m$的所有$k$分别有多少种分组方法。 答案对$998244353$取模。 $n\leq {10}^9,mn$的项都是$0$，所以我们钦
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摘要：题目描述 有一个$n$维空间中的球，告诉你球面上$n+1$个点的坐标，求球心的坐标。 $n\leq 10$ 题解 设$a_{i,j}$为第$i$个点的第$j$维坐标，$i=0$代表球心。 假设$n=2$： $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n{(a_{0,i} a_{1,i})
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摘要：题目大意 有一个$1001\times n$的的网格，每个格子有$q$的概率是安全的，$1 q$的概率是危险的。 定义一个矩形是合法的当且仅当： 这个矩形中每个格子都是安全的 必须紧贴网格的下边界 问你最大的合法子矩形大小为$k$的概率是多少。 $n\leq {10}^9,k\leq 1000$ 吉
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摘要：CTT=清华集训 题目大意 有$n$个点，点权为$a_i$，你要连接一条边，使该图变成一颗树。 对于一种连边方案$T$，设第$i$个点的度数为$d_i$，那么这棵树的价值为： $$ val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m) $$
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