【XSY2921】yja 拉格朗日乘法

题目描述

　　在平面上找 \(n\) 个点，要求这 \(n\) 个点离原点的距离分别是 \(r_1,r_2,\ldots,r_n\)，最大化这 \(n\) 个点构成的土包的面积。这些点的顺序任意。

　　\(n\leq 8\)

题解

　　先枚举凸包上的点和顺序。

　　不妨设 \(r_{n+1}=r_1\)

　　面积为：\(\frac{1}{2}(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n)\)

　　那么问题就是最大化 \(r_1r_2\sin \theta_1+r_2r_3\sin \theta_2 + \cdots + r_nr_{n+1}\theta_n\)，条件是 \(\theta_1+\theta_2+\cdots \theta_n=2\pi\)

　　应用拉格朗日乘数法，有：

\[\begin{cases} r_1r_2\cos\theta_1=r_2r_3\cos\theta_2=\cdots=r_nr_{n+1}\cos\theta_n&=\lambda\\ \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n&=2\pi \end{cases} \]

　　观察到 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\) 关于 \(\lambda\)单调，所以可以二分 \(\lambda\) 算出 \(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_n\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int n;
const double eps=1e-9;
const double pi=acos(-1);
int a[10];
double ans=0;
auto gao=[](double x){return x<0?x+2*pi:x;};
auto calc=[](double x){double s=0;for(int i=1;i<=n;i++)s+=gao(acos(x/a[i]/a[i+1]));return s;};
void getans()
{
	sort(a+1,a+n+1);
	a[n+1]=a[1];
	do
	{
		double s=0;
		double l=0,r=1e6;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			r=min(r,(double)a[i]*a[i+1]);
		l=-r;
		if(calc(l)<2*pi||calc(r)>2*pi)
			continue;
		while(r-l>1e-5)
		{
			double mid=(l+r)/2;
			if(calc(mid)<2*pi)
				r=mid;
			else
				l=mid;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
			s+=a[i]*a[i+1]*sin(acos(l/a[i]/a[i+1]));
		ans=max(ans,s);
	}
	while(next_permutation(a+2,a+n+1));
}
int r[10];
int main()
{
	open("b");
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&r[i]);
	if(n<=2)
	{
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<1<<n;i++)
	{
		::n=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if((i>>(j-1))&1)
				a[++::n]=r[j];
		if(::n>=3)
			getans();
	}
	printf("%.10lf\n",ans/2);
	return 0;
}