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摘要： 设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的实解析函数,也就是说,$f$ 在任意一点都存在泰勒展开.且 $f(x)$ 存在反函数 $g(x)$,且 $g(x)$ 在各点的任意阶导数都存在,证明 $g$ 也是 $\mathbf{R}$ 上的实解析函数.证明:我们知道,$f(x)$ 是解析的当且... 阅读全文

摘要： 习题1.4.7:已知向量 $\mathbf{a,b}$ 不共线,问 $\mathbf{c=2a-b}$ 与 $\mathbf{d=3a-2b}$ 是否线性相关?证明:线性无关.假如 $\mathbf{c},\mathbf{d}$ 线性相关,则存在不全为零的实数 $\lambda,\xi$,使得$$\... 阅读全文

摘要： We know that$$\tan t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{i(e^{it}+e^{-it})}=\frac{e^{2i t}+1-2}{i(e^{2it}+1)}=-i(1-\frac{2}{e^{2it}+1}).$$Now we try to find the ant... 阅读全文

摘要： (Newton 1671, “Problema II, Solutio particulare”). Solve the total differential equation $$3x^2-2ax+ay-3y^2y'+axy'=0.$$Solve:We have $$y'(3y^2-ax)=3x^... 阅读全文

摘要： Solve equation $y'=1-3x+y+x^2+xy$ with another initial value $y(0)=1$.Solve: We solve this by using Newton's extraordinary method.We assume that the s... 阅读全文

摘要： As noted,if $z=x+iy$,$x,y\in\mathbf{R}$,then $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ is equivalent to $|z|^2=z\overline{z}$.Use this to show that if also $w\in\mathbf{C}... 阅读全文

摘要： 2.1.1设 $f(x),g(x),h(x)$ 是实数域上的多项式,证明,若\begin{equation}\label{eq:1}f(x)^2=xg(x)^2+xh(x)^2,\end{equation}那么 $f(x)=g(x)=h(x)=0$.证明:假若 $g(x)$ 或 $h(x)$ 是有次... 阅读全文

摘要： 5.求下列两个微分方程的公共解.$$y'=y^2+2x-x^4,y'=2x+x^2+x^4-y-y^2.$$解:将两个微分方程联立,则$$\begin{cases} y'=y^2+2x-x^4\\y'=2x+x^2+x^4-y-y^2\\\end{cases}$$于是,对于任意的 $x_0$,我们都... 阅读全文

摘要： 此文是对 [Introduction to Differential Equations,Michael E.Taylor] 第3页的一个注记.在该页中,作者给了微分方程$$\frac{dx}{dt}=x,x(0)=1.$$一个幂级数的解法.设$$x(t)=a_0t^0+a_1t^1+a_2t^2+... 阅读全文

摘要： 习题1.3(b):分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题,并对照指出单纯形表中的各基可行解分别对应图解法中可行域的哪一顶点.$\max z=2x_1+x_2$,$$s.t.\begin{cases} 5x_2\leq 15\\6x_1+2x_2\leq 24\\x_1+x_2\leq 5\\x_... 阅读全文