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问题： 设$a,b,c\geq 0$， 求证： $\frac{a(a-b)}{1+ab}+\frac{b(b-c)}{1+bc}+\frac{c(c-a)}{1+ca}\geq 0.$ 证明：易知原不等式等价于 ${\frac { \left( a-b \right) ^{2}}{1+ab}}+{\ 阅读全文
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题目：已知$a,b,c\geq 0$，$a+b+c=3$，求证：$\frac{a}{a^2+b+c}+\frac{b}{b^2+c+a}+\frac{c}{c^2+a+b}\leq 1$. 证明：因为$a+b+c=3$，又$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c) 阅读全文
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题目：已知$a,b,c\geq 0, a+b+c=ab+bc+ca$，求证：$\frac{1}{a^2+b+1}+\frac{1}{b^2+c+1}+\frac{1}{c^2+a+1}\leq 1$. 证明：因为$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c 阅读全文
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题目：已知$a, b, c>0$，求证: $\frac{a}{a^2+b+1}+\frac{b}{b^2+c+1}+\frac{c}{c^2+a+1}\leq 1$. 证明：由柯西不等式可得 $\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}=\frac{b^ 阅读全文
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题目：已知$a,b,c>0$, $ab+bc+ca+abc=4$, 求证：$\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\leq 3$. 证明：作代换$a=\frac{2x}{y+z}$, $b=\frac{2y}{z+x}$, $c=\ 阅读全文
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题目：设$a,b,c\geq 0$,且$a+b+c=1$,求证：$\frac{1}{a^2-4a+9}+\frac{1}{b^2-4b+9}+\frac{1}{c^2-4c+9}+\frac{1}{12}abc\leq \frac{7}{18}$. 证明：不妨设$a\geq b\geq c$, 令$ 阅读全文
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题目：求下列方程的实数解：$x^5+(x+1)^5+(x+2)^5+(x+3)^5=0$. 解：原方程可化为 $[x+(x+3)][(x+3)^4-(x+3)^3x+(x+3)^2x^2-(x+3)x^3+x^4]$ $+[(x+1)+(x+2)][(x+2)^4-(x+2)^3(x+1)+(x+2 阅读全文
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题目：已知$a,b,c\in R$,求证：$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+a^2b^2c^2)\geq (1+abc(a+b+c))^2$. 证明：因为$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+a^2b^2c^2)-(1+abc(a+b+c))^2$ $=\frac{1}{ 阅读全文
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题目：设正数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$满足$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=1$,求证: $\left(\frac{1}{a_{1}^{3}}-1\right)\left(\frac{1}{a_{2}^{3}}-1\right)\cdots\left(\f 阅读全文
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题目：设$a,b>0$, $ab=a+b$, 求证：$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}\geq 2\sqrt{5}$. 证明：由已知及AM-GM不等式可得: $0<a+b=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$, 于是 $a+b\geq 4$. (1) 由柯西不等式及不 阅读全文