安振平老师的4922号不等式问题的证明

题目:设$a,b>0$, $ab=a+b$, 求证:$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}\geq 2\sqrt{5}$.

证明:由已知及AM-GM不等式可得: $0<a+b=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$, 于是

$a+b\geq 4$.                                         (1)

由柯西不等式及不等式(1):

$\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[\sqrt{(1+4)(1+a^2)}+\sqrt{(1+4)(1+b^2)}]\geq \frac{1}{\sqrt{5}}[(1+2a)+(1+2b)]= \frac{1}{\sqrt{5}}[2+2(a+b)]\geq 2\sqrt{5}$.

故原不等式成立.

 

posted @ 2019-03-11 20:13 听竹居士的博客 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏