安振平老师的4960号不等式问题的证明

题目:已知$a,b,c\geq 0, a+b+c=ab+bc+ca$,求证:$\frac{1}{a^2+b+1}+\frac{1}{b^2+c+1}+\frac{1}{c^2+a+1}\leq 1$.

证明:因为$3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$.所以

$a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2$.           (1)

于是由已知及不等式(1)

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2+2(a+b+c)$.

于是

$a+b+c\geq 3$.                   (2)

由柯西不等式,不等式(2)及已知

$\frac{1+b+c^2}{(a^2+b+1)(1+b+c^2)}+\frac{1+c+a^2}{(b^2+c+1)(1+c+a^2)}+\frac{1+a+b^2}{(c^2+a+1)(1+a+b^2)}\leq \frac{(1+b+c^2)+(1+c+a^2)+(1+a+b^2)}{(a+b+c)^2}=\frac{3+(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$

$\leq \frac{2(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=1$.

故原不等式获证.

 

posted @ 2019-04-07 19:56 听竹居士的博客 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏