安振平老师的4961号不等式问题的证明

题目:已知$a, b, c>0$,求证: $\frac{a}{a^2+b+1}+\frac{b}{b^2+c+1}+\frac{c}{c^2+a+1}\leq 1$.

证明:由柯西不等式可得

$\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}=\frac{b^2}{2ab+b^2}+\frac{c^2}{2bc+c^2}+\frac{a^2}{2ca+a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)}=1$.

所以

$\left(1-\frac{b}{2a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{2b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{2c+a}\right)\leq 2$,

$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}\leq 1$.                      (1)
又由基本不等式可得

$\frac{a}{a^2+b+1}+\frac{b}{b^2+c+1}+\frac{c}{c^2+a+1}\leq\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}$.         (2)

由不等式(1)(2)可知原不等式成立.

posted @ 2019-04-07 19:28 听竹居士的博客 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏