安振平老师的5908号不等式问题的证明

题目:已知$a,b,c>0$,求证:$3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 4.$
证明:令$x=2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$,则由$a,b,c>0$及AM-GM不等式可得$x\in (0,1]$.
由舒尔不等式可得
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 2(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)-\frac{9abc}{a+b+c}.$                                        (1)
由不等式(1)可得
$3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\geq 3\sqrt{\frac{2(ab+bc+ca)-\frac{9abc}{a+b+c}}{ab+bc+ca}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$=3\sqrt{2-\frac{9abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$=3\sqrt{2-\frac{9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}}+2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$=3\sqrt{2-\frac{\frac{9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}}  +2\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$=3\sqrt{2-\frac{9x^2}{8+x^2}}+x.$                                                                                   (2)

由不等式(2)及$x\in (0,1]$知要证原不等式只要证
$3\sqrt{2-\frac{9x^2}{8+x^2}}+x\geq 4$

$\Leftrightarrow 9\left(2-\frac{9x^2}{8+x^2}\right)\geq x^2-8x+16$

$\Leftrightarrow (1-x)[x^3+80x+9+7(1+x)(1-x)]\geq 0.$                                  (3)

由$x\in (0,1]$知不等式(3)成立,故原不等式获证.