安振平老师的5924号不等式问题的证明

题目: 已知$a,b,c>0$,$abc\geq \frac{1}{2}$,求证: $\frac{1}{4a^3+1}+\frac{1}{4b^3+1}+\frac{1}{4c^3+1}\geq \frac{1}{4abc+1}.$

证明:由已知可设$a=\sqrt[3]{\frac{kyz}{x^2}},b=\sqrt[3]{\frac{kzx}{y^2}},c=\sqrt[3]{\frac{kxy}{z^2}}\left(k\geq \frac{1}{2}\right)$,则原不等式等价于
$16xyz(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx]k^2-8(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)k-(xy+yz+zx)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2)\geq 0.$ 　　 (1)
令$k=\frac{1}{2}+t(t\geq 0)$,则不等式(1)等价于
$8xyz(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2](2t^2+t)+\frac{1}{2}(xy+yz+zx)[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2](8t+3)\geq 0.$　　　　　　　　　　　　　　 (2)
由$t\geq 0$知不等式(2)成立,故原不等式成立.