安振平老师的5910号不等式问题的证明

题目: 已知$a,b,c,d>0$,求证:$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)(d^3+3)\geq 4(a+b+c+d)^3.$
证明:在正实数$a,b,c$中,必有2个同时不小于1,或者不大于1,不妨设为$a,b$,则有$(a^3-1)(b^3-1)\geq 0$,即$a^3b^3\geq a^3+b^3-1$.于是
$(a^3+3)(b^3+3)\geq 4(a^3+b^3+2).$                             (1)
由不等式(1)及赫尔德不等式可得
$(a^3+3)(b^3+3)(c^3+3)(d^3+3)\geq 4(a^3+b^3+1+1)(1+1+c^3+1)(1+1+1+d^3)$
$\geq 4(a+b+c+d)^3.$                                                     (2)
故原不等式成立.