安振平老师的5933号不等式问题的证明

题目 若$a,b,c>0$,求证:$\frac{b^2c^2}{a^2+2bc}+\frac{c^2a^2}{b^2+2ca}+\frac{a^2b^2}{c^2+2ab}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}.$

证明: 原不等式等价于
$\frac{2b^2c^2}{a^2+2bc}+\frac{2c^2a^2}{b^2+2ca}+\frac{2a^2b^2}{c^2+2ab}\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{bc(a^2+2bc)-a^2bc}{a^2+2bc}+\frac{ca(b^2+2ca)-ab^2c}{b^2+2ca}+\frac{ab(c^2+2ab)-abc^2}{c^2+2ab}\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca-abc\left(\frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ca}+\frac{c}{c^2+2ab}\right)\leq \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}\leq abc\left(\frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ca}+\frac{c}{c^2+2ab}\right).$                      (1)
由柯西不等式可得
$abc\left(\frac{a}{a^2+2bc}+\frac{b}{b^2+2ca}+\frac{c}{c^2+2ab}\right)=abc\left(\frac{a^2}{a^3+2abc}+\frac{b^2}{b^3+2abc}+\frac{c^2}{c^3+2abc}\right)$
$\geq \frac{abc(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+6abc}.$                                    (2)
由不等式(2)知要证不等式(1)只要证
$ab+bc+ca-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}\leq \frac{abc(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+6abc}$
$\Leftrightarrow \frac{[(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2+12abc][(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}{6(a^3+b^3+c^3+6abc)}\geq 0.$                     (3)
由$a,b,c>0$知不等式(3)显然成立,于是不等式(1)成立,故原不等式获证.