摘要： 命题 设曲线$\Gamma$满足$$a|z|^2+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+d=0(a,d\in\mathbb R)$$那么:1)若$a=0$且$\beta\neq0$,则表示直线；2)若$a\neq0$且$|\beta|^2-ad>0$,则表示圆周.... 阅读全文

摘要： 问题 设$\mathbb P$为全体素数的集合,证明级数$$\sum_{p\in\mathbb P}\frac{1}{p}$$发散.证明 做这个问题前，必须知道一个常识:全体素数集$\mathbb P$是无限的.所以题中才能作为级数.如果结论不成立,则存在$k\in\mathbb N$使得$$\... 阅读全文

摘要： 问题 证明级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos( \frac{\pi} { 2} \log n)}{n}$$发散.证明 取$$m=\left[e^{4N}+1\right],n=\left[e^{4N+1}\right]$$那么当$x\in[m,n]$时,函数$\... 阅读全文

摘要： 称函数$$f(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),z\in\mathbb C\setminus\{0\}$$为Rokovsky函数.显然为全纯函数,我们来考虑其单叶性区域,设$f(z_{1})=f(z_{2}),z_{1}\neq z_{2}$易得$$z... 阅读全文

摘要： 给学妹讲这部分，感觉还是挺晦涩的，所以想写一下来好好梳理一下.首先对于幂函数$w=z^{\mu}$,很自然的我们定义$$w=e^{\mu{\rm Log}z}=|z|^{\mu}e^{i\mu{\rm Arg}z}$$显然这是一个多值函数,是由${\rm Arg}$的多值性引起的.分以下几种情况来考... 阅读全文

摘要： 问题 设$f$是$\mathbb R$上的周期函数,记$$S=\{T>0:f(x+T)=f(x),\forall x\in\mathbb R\}$$根据确界原理显然$S$有下确界${\rm inf}S$,求证要么${\rm inf}S=0$,要么${\rm inf}S\in S$.证明 只需注意... 阅读全文

摘要： 问题 设$f$定义在$\mathbb R$上,若$f$在每个点上都是极大值点,证明存在区间$I$使得$f$在$I$上常值.证明 如果$f$在任何闭区间上都不常值,$\forall x_{1}\in \mathbb R$,由于它是极大值点,从而存在$a_{1}>0$使得当$$x\in I_{1}=... 阅读全文

摘要： 设$f$是$\mathbb R$上的周期为$1$的且$C^1$的函数.如果$f$满足条件$$f(x)+f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(2x),x\in\mathbb R$$证明$f(x)\equiv0$.证明 设$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{... 阅读全文

摘要： 题目来自史济怀、刘太顺《复变函数》50页的最后两个习题：3.设$f$在$B(0,1)\cup\{1\}$上全纯,并且$$f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1$$证明$f'(1)\geq0$.分析 这个题目的几何意义是很清楚的,在$1$附近不能发生旋转,否则无法保证象集还在单... 阅读全文

摘要： 全纯函数的实部和虚部是调和函数，这是很显然的.自然的要问一个问题：如果$u$是区域$D$上的调和函数,那么是否一定存在一个函数$f\in H(D)$使得$${\rm Re}f=u$$成立呢？ 一般来讲这个结论不对的.但是如果限制区域$D$是单连通的,那么结论就对了.下面给出这个结论的证明：注意到$\... 阅读全文