命题 设曲线$\Gamma$满足$$a|z|^2+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+d=0(a,d\in\mathbb R)$$
那么:
1)若$a=0$且$\beta\neq0$,则表示直线；
2)若$a\neq0$且$|\beta|^2-ad>0$,则表示圆周.
证明 先考虑第一种情况,显然${\rm Re}\overline{\beta}z=-\frac{d}{2}$,这说明$\overline{\beta}z$的轨迹是垂直于实轴的直线,他是由$\Gamma$拉伸$|\beta|$再旋转${\rm arg}\overline{\beta}$得到的,因此$\Gamma$是直线.
第二种情况,变形可得$$\left|z+\frac{1}{a}\beta\right|^2=\frac{1}{a^2}|\beta|^2-\frac{d}{a}$$
因此在$|\beta|^2-ad>0$时,$\Gamma$表示圆周且圆心为$-\frac{1}{a}\beta$,半径为$\sqrt{\frac{1}{a^2}|\beta|^2-\frac{d}{a}}$.
所以如果将直线视作$\mathbb C_{\infty}$上过无穷远点的圆周,那么$\mathbb C_{\infty}$任一圆周都可表示为如下形式$$a|z|^2+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+d=0,(a,d\in\mathbb R)\tag{1}$$
其中$|\beta|^2-ad>0$.
利用这个结论可以轻松的说明分式线性变换一定将圆周映成圆周,考虑分式线性变换$$w=\frac{az+b}{cz+d}$$
不妨设$c\neq0$,那么$$w=\frac{a}{c}+\frac{1}{c}\cdot\frac{bc-ad}{cz+d}$$
所以$w$可由$z_{1}=cz+d$,$z_{2}=\frac{1}{z_{1}}$,$w=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}z_{2}$三个过程复合完成,且第一步和第三步均在旋转和平移，必然保持圆周,因此我们只需说明$w=\frac{1}{z}$也保持圆周即可,圆周(1)在这个变换下的像为$$d|w|^2+\beta w+\overline{\beta w}+a=0$$
显然也是圆周,这便完成了证明.