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摘要： 给定数列 $a$，对于每个 $i$ 询问多少个区间的 mex 等于 $i$ 考虑转化成求多少个 $\text{mex} \ge i$ 的区间，设为 $ans_i$，容易发现，设右端点为 $r$, $p_i = \max{j\le r|a_j=i}$，则 mex 不小于于 $i$ 的合法左端点数量为 阅读全文

摘要： 考虑 $k$ 次方十分的难受，我们考虑用第二类斯特林数转化一下。考虑经典式子： $$m^n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix} n \ i\end{Bmatrix} \binom{m}{i}i!$$ 我们有： $$\sum_{i=1}^n dist(x,i)^k=\sum_{i 阅读全文

摘要： 先不考虑弱联通的条件，设 $f(n)$ 表示 $n$ 个点的DAG个数，考虑容斥，枚举一层有 $i$ 个入度为 $0$ 的点： $$f(n)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i} 2^{i(n-i)} f(n-i)$$ 这个式子不怎么好卷。显然 $\binom{n 阅读全文

摘要： 首先考虑 $V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ ，答案可以化作： $$n\sum_{i=1}^n a^i - (\sum_{i=1}^n a_i)^2$$ 然后观察操作，进行一次操作本质上是交换了差分序列中相邻两个数，也就是说我们可以任意重排这个差分序列。方差的意义实际上是数据的混乱程度，我们可 阅读全文

摘要： ~~有一回对我说道，“你读过书么？”我略略点一点头。他说，“读过书，……我便考你一考。组合数学里的斯特林数，怎样说的？”我想，AKIOI的人，我也配答么？便回过脸去，不再理会。田乙己等了许久，很恳切的说道，“不会罢？……我教给你，记着！这些数应该记着。将来做OIer的时候，省选要用。”我暗想我和省选 阅读全文

摘要： 第一类斯特林数 $S_1(n,k)$ 表示将 $n$ 个元素构成 $k$ 个环排列的方案数。根据定义递推： $S_1(n,k)=S_1(n-1,k-1)+(n-1)S_1(n-1,k)$ 我们有： $$x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^n S_1(n, k)x^k$$ 考虑归纳 阅读全文

摘要： 考虑单位根有这样一个性质： $$[k|n]={1\over k}\sum_{d=0}^{k-1}\omega_k^{dn}$$ 它有什么用呢？考虑处理一种问题，它式子里带形如 $a_{i\bmod k}$ 的东西。我们可以枚举取模的结果，写成如下形式： $$a_{i\bmod k} = \sum_{ 阅读全文

摘要： ~~见生成树想到矩阵树~~ 考虑答案范围很小，可以枚举然后算是否有生成树符合条件。 考虑一整棵树的贡献，实际上按位做位运算卷积。而矩阵树定理本质是树边权乘积之和，注意到卷积也满足乘法运算的性质，也就是我们可以把矩阵里每一个元素看成多项式。 求行列式就是FWT一遍，求行列式然后IFWT. #inclu 阅读全文

摘要： 按颜色分治挺显然，但题解有更简单的做法。 首先考虑 \(n = 2\) 的 情况，我们要让颜色为1的球全在第一根柱子上，手玩一下可以发现通解：假设第一根柱子有 \(t1\) 个 1，我们把第二根柱子前 \(t\) 个移到第三根柱子，再把第一根柱子上的 1 都移到第二根柱子，2 都移到第 3 根柱子。 阅读全文

摘要： 题面： 漂亮国的大厨扑擅长做菜，但是由于严重的通货膨胀，他必须规划一下自己的买菜计划。 有个排成一排的摊位，编号为，第个摊位售卖一种价格为的食材 在一天中，每天会发生以下两种事件之一： 摊位涨价：编号在的摊位涨价了x块钱 大厨买菜： 扑准备在这些摊位上，买价格不超过x块钱的食材不超过y个，ta问你有 阅读全文