CyrusLi

摘要： 本文给出一道平面几何题的两种解法。第一种解法基于初等数学，第二种则基于高等数学。（该题目的解答完成于2017年） 阅读全文

摘要： 两个集合等势（也称基数相等），当且仅当存在从一个集合到另一个集合的双射（既是单射又是满射的映射，即一一映射）。下面给出[0, 1]与[a, b]等势的证明。 阅读全文

摘要： 数列收敛于a的充要条件是该数列的两个互补子列（通常取奇数项子列和偶数项子列）都收敛于同一个极限a. 该定理被称为拉链定理，下面给出相应的证明. 阅读全文

摘要： 子数列一般项的下标形如阶梯，我们不妨称其为数列下标的阶梯表示法。但这种表示法给出的一般项委实不容易理解，故本文基于复合函数给出一种更容易的理解方式。基于此，更高维的子数列一般项也会变得很容易理解。 阅读全文

摘要： 收敛数列的任意子数列必收敛，且极限与原数列的极限一致。反之，若一个数列存在发散的子数列，或存在两个极限不同的子数列，则该数列必发散。下面给出收敛数列与其子数列之间的关系定理的证明。 注意：在上述证明中，用到了结论原数列下标与子数列下标的不等关系，相应的证明点这里。 阅读全文

摘要： 子数列是从原数列中按原顺序任意抽取无穷多项组成的新数列。下面给出原数列下标与子数列下标不等关系的证明。 阅读全文

摘要： 收敛数列的迫敛性（又称夹逼准则）是数列极限的核心性质。其可理解为：若三个数列满足“两边夹”关系且两边数列收敛到同一值，中间数列必收敛且极限相同。下面给出相应的证明。 阅读全文

摘要： 取整函数[x]的定义是[x]≤x<[x]+1. 下面运用此定义，求解一道特殊的一元二次方程：x^2-2[x]+0.9=0. 注意在求解过程中，建立不等式关系得到x的取值范围，是求解成功的关键. 阅读全文

摘要： 收敛数列的保不等式性描述了数列项的不等式关系可"传递"至其极限，但请注意不等式的"非严格性"。下面给出相应的证明。 阅读全文

摘要： 收敛数列保号性的推论是基于保号性定理（极限非零则后期项同号） 衍生的重要结论。下面给出相应的证明。 阅读全文