CyrusLi

摘要：数列收敛于a的充要条件是该数列的两个互补子列（通常取奇数项子列和偶数项子列）都收敛于同一个极限a. 该定理被称为拉链定理，下面给出相应的证明. 阅读全文

posted @ 2025-11-05 20:06 CyrusLi 阅读(8) 评论(0) 推荐(0)

摘要：子数列一般项的下标形如阶梯，我们不妨称其为数列下标的阶梯表示法。但这种表示法给出的一般项委实不容易理解，故本文基于复合函数给出一种更容易的理解方式。基于此，更高维的子数列一般项也会变得很容易理解。阅读全文

posted @ 2025-11-02 19:14 CyrusLi 阅读(14) 评论(0) 推荐(0)

摘要：收敛数列的任意子数列必收敛，且极限与原数列的极限一致。反之，若一个数列存在发散的子数列，或存在两个极限不同的子数列，则该数列必发散。下面给出收敛数列与其子数列之间的关系定理的证明。注意：在上述证明中，用到了结论原数列下标与子数列下标的不等关系，相应的证明点这里。阅读全文

posted @ 2025-11-01 23:54 CyrusLi 阅读(6) 评论(0) 推荐(0)

摘要：子数列是从原数列中按原顺序任意抽取无穷多项组成的新数列。下面给出原数列下标与子数列下标不等关系的证明。阅读全文

posted @ 2025-10-31 19:46 CyrusLi 阅读(4) 评论(0) 推荐(0)

摘要：收敛数列的迫敛性（又称夹逼准则）是数列极限的核心性质。其可理解为：若三个数列满足“两边夹”关系且两边数列收敛到同一值，中间数列必收敛且极限相同。下面给出相应的证明。阅读全文

posted @ 2025-10-30 22:08 CyrusLi 阅读(13) 评论(0) 推荐(0)

摘要：取整函数[x]的定义是[x]≤x<[x]+1. 下面运用此定义，求解一道特殊的一元二次方程：x^2-2[x]+0.9=0. 注意在求解过程中，建立不等式关系得到x的取值范围，是求解成功的关键. 阅读全文

posted @ 2025-10-24 22:18 CyrusLi 阅读(4) 评论(0) 推荐(0)

摘要：收敛数列的保不等式性描述了数列项的不等式关系可"传递"至其极限，但请注意不等式的"非严格性"。下面给出相应的证明。阅读全文

posted @ 2025-10-19 22:20 CyrusLi 阅读(6) 评论(0) 推荐(0)

摘要：收敛数列保号性的推论是基于保号性定理（极限非零则后期项同号）衍生的重要结论。下面给出相应的证明。阅读全文

posted @ 2025-10-19 21:46 CyrusLi 阅读(7) 评论(0) 推荐(0)

摘要：收敛数列保号性是描述收敛数列的极限符号与数列"后期项"符号关系的核心性质，即极限的非零符号能保证数列从某一项开始的所有项与极限同号。下面给出相应的证明。阅读全文

posted @ 2025-10-19 21:30 CyrusLi 阅读(33) 评论(0) 推荐(0)

摘要：如果数列收敛，则数列必有界. 反之则不然，例如{(-1)^n}. 下面给出收敛数列有界性的证明. 阅读全文

posted @ 2025-10-17 22:21 CyrusLi 阅读(11) 评论(0) 推荐(0)

心无旁骛万事可破