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一道比较不错的思维题。 对于树上的每一个节点，我们考虑设节点 \(i\) 要放 \(w_i\) 朵梅花，如果从梅岭带出 \(ans_i\) 朵梅花，就在节点 \(i\) 上放 \(w_i\) 朵梅花。 具体地，有以下两种情况： 第一种情况，梅花直接放所有子节点再放父节点。则易知 \(w_i+\sum 阅读全文
posted @ 2023-11-09 16:46
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简要题意 给定一棵 \(n\) 个点的树，树有边权。 对每个点维护一个集合 \(S_u\)，一开始集合均包含整数 \(123456789123456789\)。 设 \({\rm dis}_{a,b}\) 为树上两点 \(a\)，\(b\) 的距离。 共 \(m\) 次操作，分为如下两种： s t 阅读全文
posted @ 2023-11-08 22:18
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裴蜀定理 定义 裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。 其内容是： 设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\), 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\). 证明 若任何一个等于 \(0\), 则 \(\gcd(a,b)=a\) 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:48
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威尔逊定理 定义 威尔逊定理：对于素数 \(p\) 有 \((p-1)!\equiv -1\pmod p\)。 证明 我们知道在模奇素数 \(p\) 意义下，\(1,2,\dots ,p-1\) 都存在逆元且唯一，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）\(1\)，但前提是这个数的 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:47
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卢卡斯定理 引入 卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到卢卡斯定理。 定义 卢卡斯定理内容如下：对于质数 \(p\)，有 \[\binom{n}{m} 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:47
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费马小定理 定义 若 \(p\) 是质数，且 \(\gcd(a, p) = 1\)，则有 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\)。 另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)。 证明 设一个质数为 \(p\)，我们取一个不为 阅读全文
posted @ 2023-11-01 17:15
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单调栈 引入 何为单调栈？顾名思义，单调栈即满足单调性的栈结构。与单调队列相比，其只在一端进行进出。 为了描述方便，以下举例及伪代码以维护一个整数的单调递增栈为例。 过程 插入 将一个元素插入单调栈时，为了维护栈的单调性，需要在保证将该元素插入到栈顶后整个栈满足单调性的前提下弹出最少的元素。 例如， 阅读全文
posted @ 2023-10-31 15:09
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单调队列 引入 如果一个选手比你小还比你强，你就可以退役了。 单调队列是一种主要用于解决滑动窗口类问题的数据结构，即，在长度为 \(n\) 的序列中，求每个长度为 \(m\) 的区间的区间最值。它的时间复杂度是 \(O(n)\)，在这个问题中比 \(O(n\log n)\) 的 ST 表和线段树更 阅读全文
posted @ 2023-10-31 15:05
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矩阵 引入 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由 \(19\) 世纪英国数学家凯利首先提出。 定义 由 \(m\times n\) 个数 \(a_{i,j}\) 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表称为 \(m\) 行 \ 阅读全文
posted @ 2023-10-30 20:12
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欧拉函数与欧拉定理 欧拉函数 定义 欧拉函数，即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。 比如说 \(\varphi(1) = 1\)。 当 n 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)。 性质 欧拉函数是积性函数。 积 阅读全文
posted @ 2023-10-29 11:16
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