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裴蜀定理 定义 裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。 其内容是： 设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\), 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\). 证明 若任何一个等于 \(0\), 则 \(\gcd(a,b)=a\) 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:48
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威尔逊定理 定义 威尔逊定理：对于素数 \(p\) 有 \((p-1)!\equiv -1\pmod p\)。 证明 我们知道在模奇素数 \(p\) 意义下，\(1,2,\dots ,p-1\) 都存在逆元且唯一，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）\(1\)，但前提是这个数的 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:47
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卢卡斯定理 引入 卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到卢卡斯定理。 定义 卢卡斯定理内容如下：对于质数 \(p\)，有 \[\binom{n}{m} 阅读全文
posted @ 2023-11-01 23:47
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费马小定理 定义 若 \(p\) 是质数，且 \(\gcd(a, p) = 1\)，则有 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\)。 另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)。 证明 设一个质数为 \(p\)，我们取一个不为 阅读全文
posted @ 2023-11-01 17:15
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