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数论基础 整除 设\(a,b\in Z,a\neq 0\)。如果 \(\exist q \in {Z}\)，使得使得\(b=aq\)，那么就说b可悲a整除，记作 $ a|b $。 约数 若\(a|b\)，则称\(b\)是\(a\)的倍数，\(a\)是\(b\)的约数 最大公约数与互素相关的性质 若$ 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:11
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素数与合数 定义 设整数\(p\neq 0,\pm 1\)。如果p除了平凡约数外没有其他约数，那么称p为素数。 若整数\(a\neq 0,\pm 1\)且a不是素数，则称a为合数。 性质 对于合数a，一定存在素数\(p\leq \sqrt{a}\)使得\(p|a\)。 素数有无穷多个 所有大于3的素 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:10
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最大公约数 最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。 一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数。 一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。 对不全为0的整数 \(a,b\)，将其最大公约数 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:10
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数论分块 数论分块可以快速计算一些含有除法向下取整的和式（即形如 $\sum_{i=1}^nf(i)g(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor) $的和式）。当可以在 $O(1) $内计算 \(f(r)-f(l)\) 或已经预处理出 f 的前缀和时，数论分块就可以在 \ 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:09
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欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 n 和 n 互质的数的个数。 比如说 \(\varphi(1) = 1\)。 当 n 是质数的时候，显然有$ \varphi(n) = n - 1$。 性质 欧拉函数是积 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:08
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裴蜀定理 内容 设a，b是不全为零的整数，对任意整数x，y， 满足\(gcd(a,b)\mid ax+by\) 存在整数x，y，使得\(ax+by=gcd(a,b)\) 逆定理 设a，b是不全为零的整数，若d>0是a，b的公因数，且存在整数x，y，使得\(ax+by=d\)，则\(d=gcd(a,b 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:08
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费马小定理 定义 若p为素数，\(gcd(a,p)=1\)，则\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。 另一种形式：对于任意整数a，则有\(a^p\equiv a\pmod p\)。 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:07
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欧拉定理 定义 若\(gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)。 扩展欧几里得 定义 \[a^b \equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)}, &\gcd(a,m) = 1, \\ a^b, & 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:07
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乘法逆元 定义 如果一个线性同余方程$ax\equiv 1\pmod b \(，则\)x\(称为\)a\mod b\(的逆元，记作\)a^{-1}$。 快速幂法 浅浅证明一下： 由定义可得\(ax \equiv 1 \pmod b\); 要根据费马小定理可得 \(a^{b-1}\equiv 1 \p 阅读全文
posted @ 2025-07-18 19:50
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线性同余方程 定义 形如： \[ax\equiv b\pmod p \]的方程为线性同余方程。其中，a，b和n为给定整数，x为未知数。需要从区间\([0,n-1]\)中求解x，当解不唯一时需要求出全体解。 用逆元求解 当\(gcd(a,n)= 1\)时，$ x\equiv ba^{-1}\pmod 阅读全文
posted @ 2025-07-18 19:47
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