6裴蜀定理

裴蜀定理

内容

设a，b是不全为零的整数，对任意整数x，y，

• 满足\(gcd(a,b)\mid ax+by\)
• 存在整数x，y，使得\(ax+by=gcd(a,b)\)

逆定理

设a，b是不全为零的整数，若d>0是a，b的公因数，且存在整数x，y，使得\(ax+by=d\)，则\(d=gcd(a,b)\)。

特殊地，当d=1时，a，b互质。

多个整数

裴蜀定理可以推广到 n 个整数的情形：设$ a_1, a_2, \dots, a_n \(是不全为零的整数，则存在整数\) x_1, x_2, \dots, x_n,$ 使得 \(a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n=\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)\)。其逆定理也成立：设 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是不全为零的整数，d > 0 是 $a_1, a_2, \dots, a_n \(的公因数，若存在整数\) x_1, x_2, \dots, x_n,$ 使得 \(a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n=d\)，则 \(d = \gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)\)。