4数论分块

数论分块

数论分块可以快速计算一些含有除法向下取整的和式（即形如

$\sum_^nf(i)g(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor) $的和式）。当可以在 $O(1) $内计算 \(f(r)-f(l)\) 或已经预处理出 f 的前缀和时，数论分块就可以在 \(O(\sqrt n)\) 的时间内计算上述和式的值。

它主要利用了富比尼定理（Fubini's theorem），将

$\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor $相同的数打包同时计算。

结论：

对于常数 n，使得式子$\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac nj\right\rfloor$

成立且满足$ i\leq j\leq n$ 的 j 值最大为 \(\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor\)，即值 $\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor $所在块的右端点为 \(\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor\)。

过程：

数论分块的过程大概如下：考虑和式

\(\sum_{i=1}^nf(i)\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\)

那么由于我们可以知道

$\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor $的值成一个块状分布（就是同样的值都聚集在连续的块中），那么就可以用数论分块加速计算，降低时间复杂度。

利用上述结论，我们先求出 f(i) 的 前缀和（记作
\(s(i)=\sum_{j=1}^i f(j)）\)，然后每次以

$[l,r]=[l,\left\lfloor\dfrac n{\lfloor\frac ni\rfloor}\right\rfloor] $为一块，分块求出贡献累加到结果中即可。

代码如下：

int result=0;
for(int l=1,r;l <= n; l = r + 1)
{
    r = n/(n/l);
    k = n / l;
    result += (s[r] - s[l-r]) * k;
}

最终得到的 result 即为所求的和式。

向上取整的数论分块
向上取整与前文所述的向下取整十分类似，但略有区别：

对于常数 n，使得式子

\(\left\lceil\dfrac ni\right\rceil=\left\lceil\dfrac nj\right\rceil\)
成立且满足 \(i\leq j\leq n\) 的 j 值最大为

\(\left\lfloor\dfrac{n-1}{\lfloor\frac{n-1}i\rfloor}\right\rfloor\)，即值

$\left\lceil\dfrac ni\right\rceil $所在块的右端点为

\(\left\lfloor\dfrac{n-1}{\lfloor\frac{n-1}i\rfloor}\right\rfloor\)

当 i=n 时，上式会出现分母为 0 的错误，需要特殊处理。