10线性同余方程

线性同余方程

定义

形如：

\[ax\equiv b\pmod p \]

的方程为线性同余方程。其中，a，b和n为给定整数，x为未知数。需要从区间\([0,n-1]\)中求解x，当解不唯一时需要求出全体解。

用逆元求解

当\(gcd(a,n)= 1\)时，$ x\equiv ba^{-1}\pmod p$

当\(gcd(a,n)\neq 1\)时，设\(g = gcd(a,b)\)

（1）当b不能被g整除时，无解。

（2）当g整除b时，将方程的a，b，n同时除以g，得到：\(a^{'}x\equiv b^{'} \pmod{n^{'}}\)

​ 此时解不唯一。

\[x_i\equiv (x^{'} + i\cdot n^{'}) \pmod n \quad \text{for } i = 0 \ldots g-1 \]

总之，线性同余方程的 解的数量 等于$ g = \gcd(a, n) $或等于 0。

用扩展欧几里得算法求解

根据以下两个定理，可以求出线性同余方程$ ax\equiv b \pmod n $的解。

定理 1：线性同余方程 $ax\equiv b \pmod n $可以改写为如下线性不定方程：

\[ax + nk = b \]

其中 x 和 k 是未知数。这两个方程是等价的，有整数解的充要条件为 \(\gcd(a,n) \mid b\)。

应用扩展欧几里德算法可以求解该线性不定方程。根据定理 1，对于线性不定方程$ ax+nk=b$，可以先用扩展欧几里得算法求出一组 \(x_0,k_0\)，也就是 \(ax_0+nk_0=\gcd(a,n)\)，然后两边同时除以$ \gcd(a,n)$，再乘 b。就得到了方程

\[a\dfrac{b}{\gcd(a,n)}x_0+n\dfrac{b}{\gcd(a,n)}k_0=b \]

于是找到方程的一个解。

定理 2：若$ \gcd(a,n)=1$，且 $x_0、k_0 $为方程 $ax+nk=b $的一组解，则该方程的任意解可表示为：

\[x=x_0+nt k=k_0-at \]

并且对任意整数 t 都成立。

根据定理 2，可以从已求出的一个解，求出方程的所有解。实际问题中，往往要求出一个最小整数解，也就是一个特解

\[x=(x \bmod t+t) \bmod t \]

其中有

\[t=\dfrac{n}{\gcd(a,n)} \]

如果仔细考虑，用扩展欧几里得算法求解与用逆元求解，两种方法是等价的。