07 2025 档案
摘要：集合哈希：给每一个元素随机一个值，判断和是否相等（可重集）或异或和是否相等（不可重集）。 消消乐做法：对于每一数随机一个矩阵，另一个相同位置的数则为它的逆矩阵。 \(min(a, b) \iff a + b - max(a, b)\) 曼哈顿距离可以和切比雪夫距离相互转化。 \(O(nlogn)\)
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摘要：当需要维护一个子串的哈希值，可以用哈希前缀和：\(hash_{l-r} = pre_r - pre_l \times base^{r - l + 1}\)。 哈希常搭配二分使用。 \(gp\_hash\) 十分快。 当 \(\sum len_i \le 10^5\) 时，它的长度的种类数是 \(\s
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摘要：\(E(x) = \sum_{i \in x} val_i \times P(i) \to \sum_{i \in x} E(i)\) \(E(x+y) = E(x) + E(y)\) \(E(aX + b) = a\times E(X) + b\) \(E(x^n)\) 表示 \(x\) 这个事件
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摘要：线性筛原理：当 \(i\ | \ prime_j\) 时，表示 \(i\) 中有一个质因子为 \(prime_j\), 那么接下来的质数一定不会成为最小的质因子，所以一个数只会被标记一次，即复杂度为 \(O(n)\).。 唯一分解定理：每一个有理数都能分解为有限个质数乘积。 性质：\(> \sqrt
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摘要：从小到大枚举排列：从 \(1 - n\) 插入每个数，第 \(i\) 个数有 \(i\) 种插法，所以可以枚举出 \(n!\) 种排列。 可行性 \(dp\)，其中的表示以这个下标构成的方案是否可行。 背包 \(dp\) 中放物品的顺序是可以打乱的，所以当你需要撤销一个物品时，可以把它看做是此时最后
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摘要：当有两个只会对 正/负 数产生影响的操作，我们可以考虑对正负数分别维护一个数据结构。 当最短路有多个条件并且不能同时维护时，且两个条件值域较小时，可以考虑维护一个分层图和一个二维数组，层数表示当前第一个条件的代价，而每一层图中的边权都为第二个条件。 当最短路的值域较小，可以考虑用桶代替堆，\(O(1
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摘要：考虑线段树能不能维护一个操作： 考虑如何合并线段树上的两个子树 考虑如何给一个点叠加 \(tag\)。 \(gcd\) 的性质：一个区间的 \(gcd\) 是这个区间（在前面加上一个 \(0\)）的差分数组的 \(gcd\)。 例子: \(gcd(1, 3, 4, 6) \rightarrow gc
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摘要：\(tarjan\) 染色的倒序是图的拓扑序。 缩点的时间复杂度： \(O(n+m)\)。 当差分约束的时间复杂度不优时，考虑进行缩点后拓扑排序。[SCOI2011] 糖果 一个点可能属于多个极大点双，但只可能属于一个极大边双。 如果一个图的所有边都是割边，那么这个图是树。 在计算割点时，一个父节点
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摘要：线段树维护区间第 \(k\) 大，对一个桶建一个线段树（权值线段树），每次查找进行线段树上二分，查找桶中的第 \(k\) 大。 \(trick\)：考虑对区间询问按 \(r\) 排序，然后依次从左往右扫数组，那么此时区间询问就变为全局询问，只用树状数组维护即可。P1972 [SDOI2009] HH
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摘要：求欧拉回路: void dfs(int x) { for(int &i = hd[x]; i < e[x].size(); ) dfs(e[x][i++]); stc[++top] = x; } 用 \(Floyd\) 求 有向图 的最小环： 将 \(f_{i,i}\) 设置成 \(+\infty\
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摘要：\(shuffle(\ begin,\ end,\ 随机数函数\ )\) （打乱数组） \(nth\_element()\) （第 \(k\) 小元素） \(fill\) （填充数组） \(bitset\): \(bitset()\) 初始化每一位都是 \(false\)。 \(bitset(val
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摘要：\(t1\) 当 \(i \& n == i\) 时，\(C_n^i\) 是奇数。 \(t2\) 从大往小填。 \(t3\) 正难则反，根号分治，对于一个长度为 \(n\) 的数组中，不同数字的出现次数的种类数最多只有 \(\sqrt{n}\) 种。 \(t4\) 当 \(dfn_{v'} \in
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