7.22笔记

• 线性筛原理：当 \(i\ | \ prime_j\) 时，表示 \(i\) 中有一个质因子为 \(prime_j\), 那么接下来的质数一定不会成为最小的质因子，所以一个数只会被标记一次，即复杂度为 \(O(n)\).。
• 唯一分解定理：每一个有理数都能分解为有限个质数乘积。
• 性质：\(> \sqrt n\) 的质因子最多只有一个。
• \(gcd(a, b) \iff gcd(a, b\ \%\ a)\)
• 多个数的 \(gcd\)，\(lcm\) 等于两两求 \(gcd\)，\(lcm\)。
• 积性函数：当 \(gcd(a, b)=1\)，当且仅当 \(f(a \times b) = f(a) \times f(b)\) 时，\(f\) 为积性函数。
• 费马小定理：当 \(p\) 为质数时，则 \(\forall a\ (gcd(a,p)= 1)\)，\(a^p\equiv{a}\pmod{p}\)
• 欧拉定理：当 \(gcd(a, m) = 1\) 时，有 \(a^{\phi (m)}\equiv{1}\pmod m\)。
• 设 \(a\)，\(b\) 为不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\) 使得 \(ax+by=gcd(a,b)\)
• 当 \(p\) 为质数时，\((x+y)^p \equiv{x^p + y^p} \pmod p\)
• \(\binom{n}{m} \iff \binom{n}{n-m}\)
• \(\sum^{n}_{i=0} \binom{n}{i} \iff 2^n\)
• \(\sum^{n}_{i=0} (-1)^i \cdot \binom{n}{i} = \{^{1,\ \ (n = 0)}_{0,\ \ (n \ne 0)}\)
• 当 \(f(x)=x^n\) 时，\(f'(x)=n \cdot x^{n-1}\)
• 容斥原理公式：\(ans = \sum_{i=0}^{\infty } (-1)^{|s|} \cdot f(s)\) （\(s\) 为集合大小）。
• 矩阵加法存在交换律和结合律，但矩阵乘法只存在结合律。
• \(01\) 矩阵中，乘法即为与运算，加法为异或运算，可用 \(bitset\) 加速矩阵快速幂。
• 莫反：\([gcd(a, b) = 1] \iff \sum_{d|gcd(a, b)} \mu (d)\)，如果有 \(f(d) = \sum_{d|n} g(n)\)，那么 \(g(d) = \sum_{d|n} \mu (\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor)f(n)\)