7.25笔记

• 从小到大枚举排列：从 \(1 - n\) 插入每个数，第 \(i\) 个数有 \(i\) 种插法，所以可以枚举出 \(n!\) 种排列。
• 可行性 \(dp\)，其中的表示以这个下标构成的方案是否可行。
• 背包 \(dp\) 中放物品的顺序是可以打乱的，所以当你需要撤销一个物品时，可以把它看做是此时最后一个加入的物品，然后直接撤销即可。
• 状压 \(dp\) 本质：对爆搜的一种特殊的记忆化搜索优化，用 \(2^i\) 是否为一来表示第 \(i\) 个有没有被选，而每一次枚举的是最后一个进入状态的数。
• 子集枚举： (\(s\) 是 \(m\) 的所有子集)

  for (int i = 1; i <= (1 << m); ++i) {
      for (int s = i; ; s = (s - 1) & i) {
          .....
      }
  }
  

  复杂度：\(O(3^m)\)。
• 当需要求一个集合的值时，可以把这个集合 \(s\) 拆成 \(s - lowbit(s)\) 与 \(lowbit(s)\)，而这两个集合都是之前处理过的，所以正确。
• 树形 \(dp\) 常用套路：用 \(dp_{i,\ 0/1}\) 表示以 \(i\) 为根的子树内/外的信息，然后考虑如何合并即可（注意考虑父亲与儿子那条边走过的次数）。
• 树形背包：对儿子进行合并背包，父亲的背包必须倒序枚举，而儿子的背包枚举可顺序可倒序，复杂度为 \(O(n^2)\)。
• 线性背包常用套路：\(dp_{i,\ j}\) 表示前 \(i\) 个数中用了 \(j\) 次操作，然后转移时枚举 \(k < i\)，求得 \(min(dp_{k, j - 1} + cost_{k + 1 \to i})\)。