7.20笔记

• 考虑线段树能不能维护一个操作：
  1. 考虑如何合并线段树上的两个子树
  2. 考虑如何给一个点叠加 \(tag\)。
• \(gcd\) 的性质：一个区间的 \(gcd\) 是这个区间（在前面加上一个 \(0\)）的差分数组的 \(gcd\)。
  例子: \(gcd(1, 3, 4, 6) \rightarrow gcd(1, 2, 2, 2)\ =\ 1\)， \(gcd(2, 4, 8) \rightarrow gcd(2, 2, 4)\ =\ 2\)
• \(lowbit_x = x\ \& -x\)
• 连续字段和可转化为前缀和的问题。
• 注意树状数组更新的值域。
• \(\&, |\) 具有单调性，且一段区间的 \(\&, |\) 可以用 \(st\) 表维护。
• \(trick\)：将一个区间的条件分成多个条件分别处理后合并区间
• 树状数组二分：
  由大至小枚举答案在二进制下的每一位是一还是零，然后用 \(tr_x\)（\(x\) 为当前枚举位数的十进制）然后累加答案，考虑当前这一位的统治区间为\([1,\ \sum_{i=max_{digit}}^{cur_{digit}}x\&i]\) 与二分条件相比较，最终决策当前位选一还是零。
• 线段树二分：
  在一颗线段树上的一个节点处：考虑整个左儿子的贡献是否满足二分条件，如果满足，进入左儿子，否则进入右儿子。
• 数据结构上二分的本质：不断查询前缀和并与二分条件比较。