7.18

• 求欧拉回路:

  void dfs(int x) {
    for(int &i = hd[x]; i < e[x].size(); ) 
       dfs(e[x][i++]);
    stc[++top] = x;
  }
  

• 用 \(Floyd\) 求 有向图 的最小环：
  将 \(f_{i,i}\) 设置成 \(+\infty\)，然后跑一遍 \(Floyd\)。

• 用 \(Floyd\) 求 无向图 的最小环：
  在更新 \(f_{i,j}\) 前用 \(ans\) 记录 \(\min (f_{i,j}+a_{i,k}+a{k,j})\)

• \(Bellman\ Ford\)
  利用三角不等式不断更新 \(dis\)。

• 最小生成树：
  \(kruskal\): 稀疏图
  \(prim\)： 稠密图

• 当给每一个点随机一个父亲，那么生成的这个树的期望高度是 \(log_n\)。
  当在所有树的形态中随机一个形态，那么生成的这个树的期望高度是 \(\sqrt{n}\)。

• 小 \(trick\)：分层图。[JLOI2011] 飞行路线

• 当树上两条路径香蕉时，其中的某一条的 \(LCA\) 一定在另一条路径上。

• \(O(1)\ lca\)： 用 \(st\) 表维护欧拉序中的深度最小值，考虑点 \(u,v\) 的 \(lca\) 就是 \(min_{dep} \in [first_u, first_v]\)。

• 经典 \(trick\)：删边变加边。(多适用于生成树问题)[yLCPC2024] F. PANDORA PARADOXXX

• \(trick\)：建立超级源点。

• \(trick\)：二进制分组，枚举二进制中的每一位，将 \(0\) 分为一组， \(1\) 分为一组。（这样可以让任意两个点都有一次被分在两个不同的组里）