随笔分类 - 微积分(A)
摘要：已知：\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b\int_0^{x}e^{-t^2}dt}{x^3}\right)\) 存在 求 \(a,b\) 的关系 \[ \lim_{x \to 0}\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b\int_0^
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摘要：计算：\(\int \sqrt{x^2-1}dx\) 考虑分部积分法： \[ \begin{aligned} &\int \sqrt{x^2-1}dx = x\sqrt{x^2-1}-\int \frac{(x^2-1)+1}{\sqrt{x^2-1}}dx \\ &\int \sqrt{x^2-1
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摘要：试求：\(\int \sqrt{1-x^2}dx\) \[ \int \sqrt{1-x^2}dx \xlongequal[p^2+x^2=1]{p=\sqrt{1-x^2}}\int pdx \] 则 \(pdp+xdx=0\)，再考虑 \(I=\int pdx,J=\int xdp\)，则： \
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摘要：试求：\(\int \frac{dx}{(1+x^2)^2}\) \[ \begin{aligned} \int \frac{dx}{(1+x^2)^2} =& \int \frac{\sec^2t dt}{\sec^4t} \\ =&\int \cos^2 t dt \\ =&\frac{1}{4
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摘要：计算不定积分：$\int \frac{dx}{(2+\cos x)\sin x} $ 凑一下微分（上下乘个 \(\sin x\)，这样的话上面就有 \(\cos x\) 了，下面用三角恒等变换都弄成 \(\cos x\)）： \[ \begin{aligned} \int \frac{dx}{(2+
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摘要：显然可以令 \(\zeta=\mu=\frac{a+b}{2}\)，此时满足题意（套路与反套路……） 考虑拉格朗日中值定理： \[ \exists \zeta \in (a,b),s.t. f(b)-f(a)=(b-a)f'(\zeta) \\ f'(\zeta)=\frac{a+b}{2} \fr
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摘要：(1) \[ y'=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}},y'(0)=0 \] \[ y''=2\frac{\frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}-\arcsin x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}=2\frac
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摘要：(1) \[ \lim_{x \to 0}(1-2f(x))^{\frac{1}{\sin x}}=e^{-2\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{\sin x}}=e^{-2\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x}{\si
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摘要：不能能洛必达，邻域不可导 (1) \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-f(0)}{x}-\frac{f(x)-f(0)}{x-0}==\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{
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摘要：\[ \begin{aligned} &\begin{cases} f(y_n)-f(x_0)=f'(x_0)(y_n-x_0)+\alpha_n(y_n-x_0) \\ f(x_n)-f(x_0)=f'(x_0)(x_n-x_0)+\beta_n(x_n-x_0) \\ \end{cases} \
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摘要：充分性 若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续 所以 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) 在 \(x=0\) 处连续 必要性 若 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) 在 \(x=0\) 处连续，则 \(\lim_{x
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摘要：不妨设 \(f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}=A\)，即 \(\forall \epsilon>0,\exists \delta>0,s.t.\forall x \in U^\circ(0,\delta),|\frac{f(x)}{x}-A|<\epsilon\)
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摘要：\(\lim_{x \to 0^+}\cos \frac{1}{x}\) 不存在，同时 \(-1 \le \cos \frac{1}{x} \le 1\) 右连续：\(\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)=0\)，所以 \(\lim_{x \to 0^+}x^a\cos \frac{1
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摘要：\[ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)} \] \[ \frac{d\frac{dx}{dy}}{dy}=\frac{d \frac{1}{f'(x)}}{dx} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{f''(x)\frac{-1}{[f'(
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摘要：(1) 设 \(f(x)=|x|\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续 且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{|x|-|-x|}{x}=0\) 存在 因为 \(f_+'(x)=1,f'_-(x)=-1\
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摘要：设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可导，且满足 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{|x|}=+\infty\)，证明：\(\forall a \in \mathbb{R},\exists \zeta \in \mathbb{R}, s.t.f
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摘要：是否存在这样的函数 \(f\)，使得 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可导 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 中存在间断点 考虑 \(f(x)=\begin{cases}0 & \quad (x=0)\\ x^2 \sin \frac{1}{x} & \quad (x \ne 0
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摘要：利用零点存在定理证明： 设 \(f \in C(-\infty,+\infty)\) 且 \(f(f(x))=x\)，证明：\(\exists \zeta \in (-\infty,+\infty),s.t.f(\zeta)=\zeta\) 设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的连续
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摘要：试举出定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上的函数 \(f(x)\)，要求：\(f(x)\) 仅在 \(0,1,2\) 三点处连续，其余点都是 \(f(x)\) 的第一类间断点 实际上这种函数是不存在的，若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处左右极限都存在，则在 \(x_0\
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摘要：求：\(\lim_{x \to \infty}(\frac{1+\sqrt[x]{3}}{2})^x\) 设 \(\phi(x)=\frac{1+\sqrt[x]{3}}{2}-1\) 则 \(\lim_{x \to \infty} (1+\phi(x))^{\frac{1}{\phi(x)} \c
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