微积分(A)随缘一题[22]

已知：\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b\int_0^{x}e^{-t^2}dt}{x^3}\right)\) 存在

求 \(a,b\) 的关系

\[\lim_{x \to 0}\left(\frac{a}{x^2}+\frac{b\int_0^{x}e^{-t^2}dt}{x^3}\right)= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}\left(a+\frac{b\int_0^{x}e^{-t^2}dt}{x}\right) \]

考虑到 \(x^2 \to 0\)，所以 \(a+\frac{b\int_0^xe^{-t^2}dt}{x} \to 0\)

所以：

\[\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x}e^{-t^2}dt}{x}=-\frac{a}{b} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x^2}}{1}=-\frac{a}{b} \Rightarrow a+b=0 \]