微积分(A)随缘一题[5]

是否存在这样的函数 \(f\)，使得

1. \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 可导
2. \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 中存在间断点

考虑 \(f(x)=\begin{cases}0 & \quad (x=0)\\ x^2 \sin \frac{1}{x} & \quad (x \ne 0)\end{cases}\)

当 \(x \ne 0\) 时，有 \(f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\)

当 \(x=0\) 时，有 \(f'(0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h^2\sin\frac{1}{h}}{h}=0\)

因为 \(\lim_{x \to 0} 2x\sin\frac{1}{x}=0,\lim_{x \to 0}\cos \frac{1}{x} \text{ DNE}\)

所以 \(\lim_{x \to 0} f'(x) \text{ DNE}\)

所以 \(f'(x)\) 不连续，但 \(f(x)\) 处处可导