微积分(A)随缘一题[7]

(1)

设 \(f(x)=|x|\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续

且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{|x|-|-x|}{x}=0\) 存在

因为 \(f_+'(x)=1,f'_-(x)=-1\)，所以 \(f'(x)\) 不存在

所以 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处（不一定）可导

(2)

\[(A-\epsilon)x<f(2x)-f(x)<(A+\epsilon)x \\ (A-\epsilon)\frac{x}{2}<f(x)-f(\frac{x}{2})<(A+\epsilon)\frac{x}{2} \\ (A-\epsilon)\frac{x}{2^n}<f(\frac{x}{2^{n-1}})-f(\frac{x}{2^n})<(A+\epsilon)\frac{x}{2^n} \\ \Rightarrow (A-\epsilon)x \frac{1}{2} \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}<f(x)-f(\frac{x}{2^n})<(A+\epsilon) x \frac{1}{2} \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow (A-\epsilon) x<f(x)<(A+\epsilon)x \\ \Rightarrow |\frac{f(x)}{x}-A|<\epsilon \\ \Rightarrow f'(0)=A \]