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摘要： 所有平方根写成连分数时都是周期性的，连分数的形式如下： $$ \displaystyle \quad \quad \sqrt{N}=a_0+\frac 1 {a_1+\frac 1 {a_2+ \frac 1 {a3+ \dots}}} $$ 例如，让我们看一下$\sqrt{23}$： $$ \qu 阅读全文

摘要： 五位数$16807=7^5$也是一个五次幂，同样的，九位数$134217728=8^9$也是一个九次幂。求有多少个$n$位正整数同时也是$n$次幂？ 分析：设题目要求的幂的底为$n$，指数为$k$，则这个幂应为$k$位数，则有： $$ 10^{k 1}<n^k<10^k \Rightarrow k 阅读全文

摘要： 立方数$41063625 (345^3)$的各位数重新排列形成另外两个立方数$6623104 (384^3)$和$66430125 (405^3)$。事实上，$41063625$是满足以下条件的最小的立方数，即其各位数的重新排列刚好可以形成三个立方数。求满足以下条件的最小立方数，即其各位数的重新排列 阅读全文

摘要： 三角形数、正方形数、五边形数、六边形数、七边形数和八边形数都是有形数，且分别可以通过以下公式得到： | 类型 | 公式 | 示例 | | : : | : : | : : | | 三角形数 | $P_{3,n}=n(n+1)/2$ | $1,3,6,10,15$ | | 正方形数 | $P_{4,n} 阅读全文

摘要： 素数3, 7, 109, 673很有意思，从中任取两个素数以任意顺序拼接起来形成的仍然是素数。例如，取出7和109，7109和1097都是素数。这四个素数的和是792，是具有这样性质的四个素数的最小的和。求满足以上性质的五个素数的最小的和。 分析：这道题的解法非常让人出人意料，这个问题实际上和图论中 阅读全文

摘要： 计算机上的每个字母都对应一个独特的编号，普遍接受的标准是ASCII(美国信息交换标准代码)。例如，大写字母的A的ASCII码是65，星号( )的ASCII码是42，而小写字母k的代码是107。 一种现代的加密方法是：输入一个文本文件，把其中的字节转化为对应的ASCII码，然后用从秘钥中获得的特定值和 阅读全文

摘要： 从一开始按以下方式逆时针旋转，可以形成一个边长为七的正方形螺旋： 一个有趣的现象是右下对角线上都有一个奇完全平方数，但是更有趣的是两条对角线上的十三个数中有八个数是素数(已经标红)，也就是说素数占比为$8/13\approx62\%$。如果在上面的螺旋再加一层就可以形成一个边长为九的正文形螺旋。如果 阅读全文

摘要： 五十七、平方根收敛(Square root convergents) 二的平方根可以表示为以下这个无穷连分数： $$ \sqrt 2 =1+ \frac 1 {2+ \frac 1 {2 +\frac 1 {2+ \dots}}} $$ 通过把前四项展开，我们得到： $$ \begin{aligne 阅读全文

摘要： 一个古戈尔也就是$10^{100}$是一个天文数字，一后面跟着一百个零。$100^{100}$更是难以想像的大，一后面跟着两百个零。但是尽管这个数字很大，它们各位数字的和却只等于一。考虑两个自然数$a,b$形成的指数$a^b(a,b<100)$，其最大的各位数字之和是多少？ 分析：此题思路比较直接， 阅读全文

摘要： 五十五、吕克雷尔数(Lychrel numbers) 如果我们把$47$翻转过来并和其自身相加，结果是$47+74=121$是一个回文数。并不是所有的数都可以这么快的变成回文数，比如说： $$ \begin{aligned}349 + 943 &= 1292\\1292 + 2921 &= 4213 阅读全文