MT【277】华中科技大学理科实验班选拔之三次方程

(2015华中科技大学理科实验班选拔)
已知三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有三个实数根.
(1)若三个实根为$x_1,x_2,x_3$,且$x_1\le x_2\le x_3,a,b$为常数,求$c$变化时$x_3-x_1$的取值范围.
(2)若三个实数根为$a,b,c$,求$a,b,c$

分析:
$$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3&=-a\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=b\\
x_1x_2x_3&=-c
\end{cases}$$
为方便起见记$x_2=t$
$(x_3-x_1)^2$
$=(x_3+x_1)^2-4x_1x_3$
$=(-a-t)^2+\dfrac{4c}{t}$
$=(-a-t)^2-\dfrac{4(t^3+at^2+bt)}{t}$
$=-3t^2-2at+a^2-4b$
又$(x^3+ax^2+bx+c)'=3x^2+2ax+b$由三次函数图像易知$t$在它的两个根之间,
二次函数$-3t^2-2at+a^2-4b$的最值在区间端点和对称轴处取得,

故所求范围为$\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}{3}-b}\right]$
$$\begin{cases}
a+b+c&=-a\\
ab+bc+ca&=b\\
abc&=-c
\end{cases}$$
得$c=0,a=0,b=0\vee c=0,a=1,b=-2\vee a=-\dfrac{1}{b},c=\dfrac{2}{b}-b$,
将$b$代入三次方程得$b^3+ab^2+b^2+c=0$再将$a=-\dfrac{1}{b},c=\dfrac{2}{b}-b$代入化简得
$b^4+b^3-2b^2+2=0$从而$b=-1$或者$b^3-2b+2=0$,利用代换$b=t+\dfrac{2}{3t},$代入化简得

$t^3+\dfrac{8}{27t^3}+2=0$
从而$t=\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}$
故有理解为\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\),
无理解为\(\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)\),其中\(b=t+\dfrac 2{3t}\),而\(t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}\)．