题库题目分享：某公园里有一块边长分别为30米,40米,50米的三角形草坪

某公园里有一块边长分别为30米,40米,50米的三角形草坪(记为 \(\triangle ABC\)),点 D,E 在 \(\triangle ABC\) 的边上,线段 \(DE\) 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿 \(DE\) 铺设灌溉水管,则水管的最短长度为\(\underline{\qquad\qquad}\) 米.

答案： 20

解析：
Case1 若 \(D,E\) 在 \(AC,BC\) 上,设 \(CD=x\),\(CE=y\),则有 \(S_{\triangle CDE}=\dfrac{1}{2}xy=300\),解得 \(xy=600\),
[
DE^2=x2+y^2 \geq2xy=1200,
]
即 \(DE \geq20\sqrt{3}\),当且仅当 \(x=y=10\sqrt{6}\) 时等号成立;

Case2 若 \(D,E\) 在 \(AC,AB\) 上,设 \(AD=x\),\(AE=y\),\(\sin A=\dfrac{4}{5}\),\(\cos A=\dfrac{3}{5}\),则有 $$S_{\triangle ADE}=\dfrac{1}{2}xy\sin A=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5}xy=300\implies xy=750,$$
从而,
[
DE^2=x2+y^2-2xy\cos A \geq2xy-2xy\cos A=600,
]
即 \(DE \geq10\sqrt{6}\),当且仅当 \(x=y=5\sqrt{30}\) 时等号成立;

Case3 若 \(D,E\) 在 \(BC,AB\) 上,设 \(BD=x\),\(BE=y\),\(\sin B=\dfrac{3}{5}\),\(\cos B=\dfrac{4}{5}\),则有 $$S_{\triangle BDE}=\dfrac{1}{2}xy\sin B=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5}xy=300\implies xy=1000,$$
从而,
[
DE^2=x2+y^2-2xy\cos B \geq2xy-2xy\cos B=400,
]
即 \(DE \geq20\),当且仅当 \(x=y=10\sqrt{10}\) 时等号成立;
因为 \(20< 10 \sqrt{6}< 20\sqrt{3}\),所以 \(DE\) 的最小值为20,即水管的最短长度为20米.