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摘要： 概念 将 \(n\) 个元素重新排列，使得每个人都不在自己原来的位置上的的排列数记为 \(D_n\)。 递推式 \(D_n\) 的递推式为： \[D_n = (n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}),\ \ \ \ \ n \ge 2 \]初始值为： \[D_0 = 1,D_1 = 0 \]简单 阅读全文

摘要： Delannoy 数是一种组合数，用来计算在一个矩形网格中，从起点走到终点的所有路径数。它的独特之处在于允许三种移动方式。 在整数网格上，从原点 \((0,0)\) 走到点 \((m,n)\)，每一步可以： 向右走一步：\((x,y) \to (x+1,y)\)。 向上走一步：\((x,y) \to 阅读全文

摘要： 将 \(n\) 个完全相同的小球放入 \(m\) 个盒子里每个盒子可以为空的方案数为 \(\binom{n+m-1}{m-1}\)。 为什么？因为我们考虑将 \(m-1\) 个隔板插入这 \(n\) 个小球的间隙中，容易发现总是可以分割成 \(m\) 份，然后由于不管怎样都要插入 \(m-1\) 块 阅读全文

摘要： 容斥原理就是在计数的时候防止重复计算，又防止漏算的一种计算技巧。 具体地，对于两个集合 \(A,B\)，有： \[|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B| \]这是容斥原理最基本的公式，将两个集合扩展到三个集合 \(A,B,C\)，则有： \[|A \cup B \cup C| 阅读全文

摘要： 题目传送门。 看到 \(a,b \le 5 \times 10^7\)，这显然是一道数学题。 每一个数都可以分解成若干个素数的乘积，\(a^b\) 的因子也是一样的。 我们很容易想到对 \(a\) 进行质因数分解，设 \(a = \prod_{i = 1}^k p_i^{e_i}\)，显然有 \(a 阅读全文

摘要： 本篇文章使用 \(f\) 来表示斐波那契数列，用 \(l\) 来表示卢卡斯数列，用艾弗森括号 \([x]\) 来表示命题 \(x\) 是否成立，若无特殊情况，用 \(\left(\frac{a}{p}\right)\) 表示 \(a\) 是否是 \(p\) 的二次剩余（如果遇到右括号带有指数，那么就 阅读全文

摘要： 先考虑第一个限制，设每一行的 \(k\) 的集合为 \(\{k_1,k_2,\dots,k_n\}\)，那么对于第 \((i,k_i)\) 的方格，如果它是白色，那根据第二个限制，\((i-1,k_{i-1})\) 的方格也一定是白色的（原因显然），于是我们成功消除了第二个性质，此时只需要考虑第一个 阅读全文

摘要： 已知： [ g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \quad \text{对所有 } n ] 要证： [ f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) , g!\left( \frac{n}{d} \right) ] 关键性质（莫比乌斯函数）： [ \sum_{d \ 阅读全文

摘要： 静水深流，方能致远；微光点点，亦可燎原。回望来时的路，或许坑坑洼洼，或许满地荆棘，但那段令人难忘的时光，或许朴素，或许微小，或许无人在意，或许只是一段日常般的生活，但它却给予了我勇气，给予我无限希望，给予我在成长道路上奔跑的勇气，给予我一份精神的支柱…… ——题记 \(9\) 月 \(17\) 日， 阅读全文

摘要： trick：动态维护环上相邻点对的值的 \(\max\) 的最大值，然后合并为 \(\max(x,y)\)，合并的代价也是 \(\max(x,y)\)，求合并到只有 \(1\) 个元素的代价。 用一个 set 维护，一开始先将每个数向前驱和后继分别连一条不同权值的边，然后先初始化前驱后继数组（咋这么 阅读全文