组合数学：插板法

将 \(n\) 个完全相同的小球放入 \(m\) 个盒子里每个盒子可以为空的方案数为 \(\binom{n+m-1}{m-1}\)。

为什么？因为我们考虑将 \(m-1\) 个隔板插入这 \(n\) 个小球的间隙中，容易发现总是可以分割成 \(m\) 份，然后由于不管怎样都要插入 \(m-1\) 块隔板，所以有 \(n+m-1\) 个位置可以选择放隔板。

这类盒子放球问题可以转化成另一种问题，问有多少种方案使得：

\[\sum_{i = 1}^m x_i = n,\ \ \ \ \ x_i \ge 0 \]

答案显然也是 \(\binom{n+m-1}{m-1}\)。

如果我们限制每个盒子都不能为空（即 \(x_i>0\)）呢？

我们考虑先给每个盒子都放一个球（初始每个 \(x_i = 1\)），然后对于剩余的 \(n-k\) 个球进行插板法，可以得到答案为 \(\binom{n-1}{m-1}\)。

推广到第 \(i\) 个盒子至少放 \(a_i\) 个球呢？

答案显然是：

\[\binom{n-\sum_{i = 1}^m a_i+m-1}{m-1} \]