容斥原理

容斥原理就是在计数的时候防止重复计算，又防止漏算的一种计算技巧。

具体地，对于两个集合 \(A,B\)，有：

\[|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B| \]

这是容斥原理最基本的公式，将两个集合扩展到三个集合 \(A,B,C\)，则有：

\[|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C| \]

这是容斥原理比较广为人知的基础公式，简单推广一下，变成对于 \(n\) 个集合 \(A_1,A_2,\dots,A_n\)，可以得到容斥原理的标准公式：

\[\left|\bigcup_{i = 1}^n A_i\right| = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \le s_1<s_2<\dots<s_k \le n} \left|\bigcap_{j = 1}^k A_{s_j}\right| \]

而这个公式可以应用到这种类型的题：有若干个条件，对于每个条件 \(i\)，对应的满足条件的方案的集合为 \(A_i\)，问有多少种方案满足其中的任意一个条件。

那如果要求满足所有条件的话方案数又该怎么求呢？

我们可以转化问题，对于每个集合 \(A_i\)，它的补集 \(\complement A_i\) 称为“坏性质”，问有多少个方案同时不满足所有坏性质。

很容易发现这是好求的（其中 \(U\) 表示全集）：

\[\begin{align*} \left|\bigcap_{i = 1}^n \complement A_i\right| &= |U|-\left|\bigcup_{i = 1}^n A_i\right|\\ &= \sum_{k = 0}^n (-1)^k \sum_{1 \le s_1<s_2<\dots<s_k \le n} \left|\bigcap_{j = 1}^k A_{s_j}\right| \end{align*} \]

约定当 \(k = 0\) 时，\(\left|\bigcap_{j = 1}^k A_{s_j}\right| = U\)。

同时容斥原理是可以直接嵌套概率论公式的：

\[\begin{align*} P\left(\bigcup_{i = 1}^n A_i\right) &= \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \le s_1<s_2<\dots<s_k \le n} P\left(\bigcap_{j = 1}^k A_{s_j}\right) \\ P\left(\bigcap_{i = 1}^n \complement A_i\right) &= \sum_{k = 0}^n (-1)^k \sum_{1 \le s_1<s_2<\dots<s_k \le n} P\left(\bigcap_{j = 1}^k A_{s_j}\right) \end{align*} \]

但前提是 \(P(U) = 1\)。