莫比乌斯基本定理证明

已知：

\[g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \quad \text{对所有 } n \]

要证：

\[f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right) \]

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关键性质（莫比乌斯函数）：

\[\sum_{d \mid m} \mu(d) = \begin{cases} 1, & m = 1, \\ 0, & m > 1 \end{cases} \quad (1) \]

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证明：

将 \( g(\frac{n}{d}) = \sum_{e \mid \frac{n}{d}} f(e) \) 代入右边：

\[\begin{aligned} \sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right) &= \sum_{d \mid n} \mu(d) \sum_{e \mid \frac{n}{d}} f(e) \\ &= \sum_{e \mid n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) \quad (\text{交换求和次序}) \end{aligned} \]

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由性质 \(1\)：

\[\sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) = \begin{cases} 1, & \frac{n}{e} = 1 \text{ 即 } e = n, \\ 0, & \text{其他 } e < n \end{cases} \]

所以：

\[\sum_{e \mid n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) = f(n) \cdot 1 = f(n) \]

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因此：

\[\sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right) = f(n) \]